¿Cuál es la intuición de la ley de reciprocidad cuadrática?

Question

La ley de reciprocidad cuadrática dice lo siguiente:

Ley de reciprocidad cuadrática - Deja que $p$ y $q$ sean números primos Impares distintos, y definir el símbolo de Legendre como

$$ \left(\frac {q}{p}\right)=\left\{\begin{array}{rl} 1 & \text{if } n^2\equiv q \pmod p \text{ for some integer } n, \\ -1 & \text{otherwise.} \end{array} \right.$$

Entonces:

$${\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{{\frac {p-1}{2}}{\frac {q-1}{2}}}.}$$

---

He oído en clase que hay cientos de pruebas de este teorema. Pero la prueba que he aprendido en clase es muy elemental. Como sabemos que muchos teoremas de la teoría de números tienen unas explicaciones muy bonitas utilizando el álgebra abstracta. ¿Existe una prueba de este teorema desde la perspectiva del álgebra abstracta? ¿Y cuál es la intuición que hay detrás de él? Gracias.

Answer 1

Ayudaría que nos dijeras qué prueba o pruebas conoces ya.

Desde la perspectiva de la teoría algebraica de los números, la ley de reciprocidad cuadrática puede describirse utilizando el campo ciclotómico $\mathbf Q(\zeta_p)$ y su único subcampo cuadrático, que es $\mathbf Q(\sqrt{p^*})$ para $p^* = (-1)^{(p-1)/2}p$ , donde $p$ es un primo de impar.

Escribe la ley de reciprocidad cuadrática (para dos primos Impares diferentes $p$ y $q$ ) como $$ \left(\frac{q}{p}\right) = \left(\frac{p^*}{q}\right). $$ La intuición detrás de esta fórmula es que, utilizando la extensión de campo $\mathbf Q(\zeta_p) \supset \mathbf Q(\sqrt{p^*})$ mencionado anteriormente, los dos lados de esta ecuación describen de manera diferente el elemento de Frobenius asociado a $q$ en ${\rm Gal}(\mathbf Q(\sqrt{p^*})/\mathbf Q)$ que como cociente ${\rm Gal}(\mathbf Q(\zeta_p)/\mathbf Q) \cong (\mathbf Z/(p))^\times$ es $(\mathbf Z/(p))^\times$ módulo de sus cuadrados. Para conocer más detalles sobre este enfoque hay que aprender teoría algebraica de los números; esta prueba no puede describirse a nivel intuitivo. Eso es parte de lo que hace que la ley de reciprocidad cuadrática sea tan misteriosa.