Resolver $1-x^2 = \ln x$

Question

Cómo resolver $1-x^2 = \ln x$ o $x^2 -1 = \ln x$

Sé que simplemente se puede comprobar que 1 es la respuesta. Incluso si decimos $x = e^{(x^2 -1)}$ se puede comprobar fácilmente que uno es la respuesta pero no es fácil de resolver sin comprobar los números. o incluso si decimos $1- 2x^2 =\ln x$ entonces no podemos resolverlo comprobando los números. ¿Cómo se puede resolver esta ecuación?

Answer 1

Podemos ver fácilmente que para $x=1$ : $1-1^2 = \ln(1) \Leftrightarrow 0=0$ por lo que la ecuación se satisface.

Demostremos que esta solución también es la única.

$$1-x^2 = \ln(x) \Leftrightarrow \ln(x)+x^2-1 =0$$

Dejemos que $g(x) = \ln(x) + x^2 - 1$ . Entonces, la derivada de $g(x)$ , será :

$$g'(x) = \frac{1}{x}+2x$$

Tenga en cuenta que $g(x)$ está bien definida en $\mathbb R^+ = (0,+\infty)$ , lo que significa que para nuestra función, es $x>0$ .

Para $x>0$ , $g'(x) > 0 $ . Esto significa que la función $g(x)$ es estrictamente creciente en su dominio.

Por lo tanto, si hay un $x_0 \in D_g : g(x_0)=0$ será también la única, ya que la función es estrictamente creciente.

Esto significa que $x=1$ es la única solución.

Nota : Esta es la única forma "básica" de solucionar estos problemas, que son fáciles de manejar de esta manera.

En general, estos problemas que no pueden ser resueltos de forma estándar, necesitan métodos numéricos, que son métodos que a través de la repetición, convergen a la solución de la ecuación dada (hay muchos métodos diferentes con mejor convergencia y diferentes características que sirven para diferentes tipos de problemas).