Tu prueba es correcta y funciona para conjuntos incontables pero creo que la segunda igualdad es un poco rápida. Ya que por definición de sumas infinitas, $\sum_{x \in E} 1=\sup \{\sum_{x \in F} 1:\, F\subset E,\, |F|<\infty\}=\text{cardinality} E$ , si $\phi=\chi_{E}$ entonces $$\int_X\phi\,d\mu=\mu(E)=\sum_{x \in E} 1=\sum_{x \in X} \phi(x).$$ Si $\phi$ es simple y no negativo $\phi=\sum_{i}^nc_i\chi_{E_i}$ entonces $\int_X\phi\,d\mu=\sum_{{c_i>0}}^nc_i\mu(E_i)$ desde $c_i\mu(E_i):=0$ si $c_i=0$ . Si uno de los $E_i$ tiene infinitos elementos con $c_i>0$ entonces la integral es infinita y también la suma infinita por el caso anterior. En caso contrario, cada conjunto $E_i$ con $c_i>0$ tiene un número finito de elementos y, por tanto, por el paso anterior y la conmutatividad de las sumas finitas $$\sum_{{c_i>0}}^nc_i\mu(E_i)=\sum_{{c_i>0}}^nc_i\sum_{x \in {X}}\chi_{E_i}(x)=\sum_{x \in {X}}\sum_{{c_i>0}}^nc_i\chi_{E_i}=\sum_{x \in {X}}\phi(x).$$ En el caso general, \begin{align} \int_X f \, d\mu & = \sup \{ \int_X \phi \, d\mu \ ,: \, 0 \le \phi \le f \text{ and $\phi$ simple } \} \\ &= \sup\Big\{\sum_{x \in {X}}\phi(x) \, :\, 0 \le \phi \le f \text{ and $\phi$ simple } \Big\} \\&= \sum_{x \in X} f(x), \end{align} donde la última igualdad se deduce del hecho de que $\sum_{x \in {X}}\phi(x)\le \sum_{x \in {X}}f(x)$ para cada $\phi\le f$ y para todo conjunto finito $F$ podemos tomar como función simple $\phi$ la función $f(x)$ si $x\in F$ y $0$ de lo contrario.
