Estoy tratando de factorizar la matriz de la imagen, pero no estoy seguro de cómo puedo obtener la matriz triangular superior. ¿Tengo que invertir cada paso de la operación matricial que he realizado? ¡Cualquier ayuda será muy apreciada!
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Julian Nazim
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Incluyo el $L$ componente de la respuesta también. Pero $U$ también se explica claramente:
El objetivo de la reducción de filas es reducir una matriz $A$ a una matriz triangular superior $A^{'}$ , que tiene como paso en su imagen. $$A=\begin{bmatrix}1&0&1\\2&2&2\\3&4&5\end{bmatrix}\to \, \, A^{'} = \begin{bmatrix}1&0&1\\0&2&0\\0&0&2\end{bmatrix} $$
Pero cada operación de fila puede representarse como la multiplicación de $A$ a la izquierda por alguna matriz $E$ . En tu imagen, utilizas 3 operaciones de fila para llegar a $A^{'}$ Así que $ E = E_1 E_2 E_3 $ y tenemos $$ EA = A^{'}$$
Ahora podemos resolver para $A$ y ver $$A = E^{-1} A^{'} $$
Tenga en cuenta que $A^{'}$ puede escribirse como el producto de una matriz diagonal y una matriz triangular superior con 1 en las diagonales, $A^{'} = DU = \begin{bmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1&0&1\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}$ .
Resulta que $E^{-1}$ ya es triangular inferior, por lo que tenemos
$$ A = LDU = E^{-1} \begin{bmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1&0&1\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix} $$
Suelo trabajar la reducción de filas en forma de Gauss-Jordan: \begin{align} A=\begin{bmatrix} 1&0&1\\ 2&2&2\\ 3&4&5 \end{bmatrix} &\xrightarrow{\substack{E_{31}(-3)\\E_{21}(-2)}} \begin{bmatrix} 1&0&1\\ 0&2&0\\ 0&4&2 \end{bmatrix} \\[6px]&\xrightarrow{E_2(1/2)} \begin{bmatrix} 1&0&1\\ 0&1&0\\ 0&4&2 \end{bmatrix} \\[6px]&\xrightarrow{E_{32}(-4)} \begin{bmatrix} 1&0&1\\ 0&1&0\\ 0&0&2 \end{bmatrix} \\[6px]&\xrightarrow{E_{3}(1/2)} \begin{bmatrix} 1&0&1\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{bmatrix} =U \fin{align} La notación utilizada es
- $E_i(c)$ significa multiplicar el $i$ la fila de $c\ne0$
- $E_{ij}(d)$ significa sumar a la $i$ la fila la $j$ fila multiplicada por $d$
Estos pueden ser vistos como elemental matrices que se multiplican sucesivamente por la izquierda, por lo que obtengo $$ L_0=E_{21}(2)E_{31}(3)E_2(2)E_{31}(4)E_3(2)= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 3 & 4 & 2 \end{bmatrix} $$ el producto de los inversos en el orden inverso.
Se puede demostrar que las entradas son exactamente las que dictan las matrices elementales, con $0$ añadidos fuera de la diagonal y las entradas que faltan en la diagonal son $1$ .
Ahora escribiendo $L_0=LD$ es fácil: $$ L= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix} \qquad D=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} $$ (dividir cada columna por la entrada correspondiente en la diagonal de $D$ ).
