¿Cómo diferenciar la ecuación de los gases ideales?

Question

La ecuación establece que $$p \cdot V=m \cdot R \cdot T$$ donde R es una constante, m es la masa, T es la temperatura, p es la presión, V es el volumen.

Mi libro de texto dice "Por diferenciando la ecuación de los gases ideales obtenemos:

$$p \cdot dV + V \cdot dp=m \cdot R \cdot dT$$

Más adelante diferencia esto: $$p1 \cdot V1=p2 \cdot V2=const$$

en esto: $$\frac{dp}{dV}=-\frac{p}{V}$$

Ahora no entiendo cómo están consiguiendo esto. Aprendimos la diferenciación en la clase de matemáticas pero no se parece en nada a esto (?) así que espero que alguien pueda explicarlo un poco.

Answer 1

Denote $df/dt$ por $f^\prime$ . Entonces, $d (pV)/dt = pV^\prime+p^\prime V$ por regla de producto, y $d (mRT)/dt = mRT^\prime$ desde $R$ es constante y se supone que la masa es constante con respecto al tiempo. Así, multiplicando por $dt$ en ambos lados da $pdV+dpV = mRdT$ .

Answer 2

La segunda parte puede derivarse así: $PV=k$ para alguna constante $k$ . Así que $P=k/V$ y por lo tanto $\frac{dP}{dV}=-\frac{k}{V^2}=-\frac{k}{V}\cdot\frac{1}{V}=\frac{-P}{V}$ (ya que, de nuevo, $P=k/V$ ).

Para la primera parte, se diferencian ambos lados con respecto al tiempo como mostró AlexanderJ93 y se "multiplica" $dt$ . Esto viene del hecho de que a los físicos les gusta ver los diferenciales como $dt$ como cambios muy muy pequeños, infinitesimales. Aunque esto no es extremadamente riguroso, a menudo funciona a efectos prácticos, ya que el concepto es muy similar al de límite.