Dos vaqueros A y B deciden resolver una disputa con un duelo.

Question

Dos vaqueros $A$ y $B$ deciden resolver una disputa con un duelo. Cowboy $A$ da en el blanco $\frac13$ de la época. Cowboy $B$ da en el blanco $\frac23$ del tiempo.
Se decide que $A$ hará el primer disparo, vaquero $B$ recibirá el segundo disparo (si sigue vivo). Esto continuará hasta que sólo quede uno vivo. Además, un vaquero no puede disparar dos veces seguidas. ¿Qué son los vaqueros? $A$ ¿podría ganar el duelo?

Mi lógica es simular los casos en los que $A$ gana:

Caso I: $A$ gana: $\frac13$

II Caso: $A$ pierde, $B$ pierde, $A$ gana: $\frac23\cdot\frac13\cdot\frac13$

...

Pero no sé qué hacer a partir de aquí. ¿Alguna ayuda?

Answer 1

Dejemos que $p$ sea la probabilidad de que A gane. Con la probabilidad ${1\over3}$ gana en su primer tiro. Con la probabilidad ${2\over3}$ se pierde. Cuando B acierta en su primer tiro, A ha perdido. Cuando B falla, A vuelve a tener una oportunidad de $p$ . De ello se desprende que $$p={1\over3}+{2\over3}\cdot{1\over3}\cdot p\ .$$ Esto implica $p={3\over7}$ .

Answer 2

Lo que tenemos es una serie geométrica que parte de $\frac13$ y el siguiente término $\frac29$ del anterior. La suma es $$\frac13\cdot\frac1{1-2/9}=\frac37$$

Answer 3

Definitivamente estás en el camino correcto. Una pista podría ser que A gana en la curva k ( $A_k$ ) si todos los disparos anteriores fallan (tanto los de A como los de B), y el último no lo hace (y todos son eventos mutuamente excluyentes).
La posibilidad de que ambos fallen es ( $\frac{1}{3}\frac{2}{3} = \frac{2}{9}$ ), y la probabilidad de que A dé en el blanco es de 1/3. Por lo tanto, la expresión que se busca es $$P(\text{A wins}) = P(\cup_{k\in\mathbb{N}}A_k) = \sum_{k=0}^{\infty} (\frac{2}{9})^k (1/3)$$