¿Determinante de la matriz de circulación o de la alteración de Vandermonde?

Question

Estoy atascado en este problema:

Dado $n$ números complejos $\alpha_\nu$ , demuestran que el determinante de

$$ \begin{vmatrix} \alpha_1 & \alpha_2 & \cdots & \alpha_{n-1} & \alpha_n \\ \alpha_2 & \alpha_3 & \cdots & \alpha_n & \alpha_1 \\ \vdots \\ \alpha_n & \alpha_1 & \cdots & \alpha_{n-2} & \alpha_{n-1} \end{vmatrix} $$

equivale a $(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}\beta\cdots\beta_n$ donde $$\beta_k=\sum_\nu \epsilon^\nu_k \alpha_\nu$$ y $$\epsilon_k=cos(\frac{2\pi k}{n})+isin(\frac{2\pi k}{n})$$ .

Pista: Multiplicar la matriz anterior por $$ \begin{pmatrix} \epsilon_1 & \cdots & \epsilon_n\\ \vdots\\ \epsilon_1^n & \cdots & \epsilon_n^n \end{pmatrix} $$

No sabía exactamente cómo multiplicar esa matriz, pero creo que he encontrado otra forma de resolverlo. Así que, lo que he hecho es primero notar que esta matriz permuta hacia atrás cada fila hacia abajo. Quería proceder por inducción. Dejo que mi caso base sea $n=2$ y se me ocurrió

$$ \begin{vmatrix} \alpha_1 & \alpha_2\\ \alpha_2 & \alpha_1 \end{vmatrix} =\alpha_1^2-\alpha_2^2 $$

Entonces, para $n=2$ , he calculado $\beta_1$ y $\beta_2$ así: $$\beta_1=\epsilon_1^1 \alpha_1+\epsilon_1^2 \alpha_2=-\alpha_1+\alpha_2$$ y $$\beta_2=\epsilon_2^1 \alpha_1+\epsilon_2^2 \alpha_2=\alpha_1+\alpha_2$$ .

Cuando conecto $n=2$ en nuestro término de equivalencia, veo que esto es sólo $-1 \beta_1 \beta_2$ . Así que esto funciona.

No tengo ni idea de cómo empezar el paso de la inducción. Así que aquí están mis preguntas: 1. ¿Podría alguien darme una pista sobre cómo iniciar el paso de inducción en este problema? Estamos utilizando la notación de Leibniz para los determinantes. 2. ¿Cómo puedo multiplicar esta matriz como dice la pista? 3. ¿Multiplicar esta matriz supondría una gran diferencia? ¡Cualquier ayuda es muy apreciada! Gracias.

Answer 1

Hacer la expansión de filas/columnas y argumentar por inducción parece bastante complicado, así que déjame seguir la pista que te han dado. En primer lugar, observa que la expresión que te dan para el determinante tiene $(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}$ en el interior que sugiere que debemos realizar $\frac{n(n-1)}{2}$ intercambios de filas o columnas para deshacerse del signo. Mover el $n$ -a la primera fila, el $n-1$ -a la segunda fila y así sucesivamente realizamos $(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}$ intercambios de filas que dan como resultado la siguiente matriz:

$$ A = \begin{pmatrix} \alpha_n & \alpha_1 & \alpha_2 & \cdots & \alpha_{n-2} & \alpha_{n-1} \\ \alpha_{n-1} & \alpha_n & \alpha_1 & \cdots & \alpha_{n-3} & \alpha_{n-2} \\ \vdots \\ \alpha_{2} & \alpha_3 & \alpha_4 & \cdots & \alpha_{n} & \alpha_1 \\ \alpha_1 & \alpha_2 & \alpha_3 & \cdots & \alpha_{n-1} & \alpha_{n} \end{pmatrix}. $$

La matriz $A$ se llama Matriz circulante y tiene la bonita propiedad de que cada diagonal es constante y cada fila es un desplazamiento a la derecha de la anterior. Siguiendo la pista, denotemos por $v_k = (\epsilon_k, \epsilon_k^2, \ldots, \epsilon_k^n)^T$ y $B = (v_1 | \ldots | v_n)$ la matriz que se le sugirió multiplicar $A$ por. Calculando $Av_k$ tenemos:

$$ Av_k = \begin{pmatrix} \alpha_n \epsilon_k + \alpha_1 \epsilon_k^2 + \alpha_2 \epsilon_k^3 + \cdots + \alpha_{n-2} \epsilon_k^{n-1} + \alpha_{n-1} \epsilon_k^n \\ \alpha_{n-1} \epsilon_k + \alpha_n \epsilon_k^2 + \alpha_1 \epsilon_k^3 + \cdots + \alpha_{n-3} \epsilon_k^{n-1} + \alpha_{n-2} \epsilon_k^n \\ \vdots \\ \alpha_{2} \epsilon_k + \alpha_3 \epsilon_k^2 + \alpha_4 \epsilon_k^3 + \cdots + \alpha_{n} \epsilon_k^{n-1} + \alpha_1 \epsilon_k^n \\ \alpha_1 \epsilon_k + \alpha_2 \epsilon_k^2 + \alpha_3 \epsilon_k^3 + \cdots + \alpha_{n-1} \epsilon_k^{n-1} + \alpha_{n} \epsilon_k^n \end{pmatrix} = (\alpha_n + \alpha_1 \epsilon_k + \ldots + \alpha_{n-2} \epsilon_k^{n-2} + \alpha_{n-1} \epsilon_k^{n-1}) \begin{pmatrix} \epsilon_k \\ \epsilon_k^2 \\ \epsilon_k^3 \\ \vdots \\ \epsilon_k^{n-1} \\ \epsilon_k^n \end{pmatrix} = (\alpha_1 \epsilon_k + \ldots + \alpha_{n-2} \epsilon_k^{n-2} + \alpha_{n-1} \epsilon_k^{n-1} + \alpha_n \epsilon_k^n) v_k = \beta_k v_k. $$

En este caso, utilizamos el hecho de que $\epsilon_k$ es un $n$ -raíz de la unidad y así $\epsilon_k^n = 1$ y $\epsilon_k^{n+j} = \epsilon_k^j$ .

Si estás familiarizado con la noción de valores propios, entonces esto muestra que $v_k$ es un vector propio de $A$ correspondiente al valor propio $\beta_k$ . Los vectores $v_k$ son linealmente independientes, como se desprende del hecho de que $\epsilon_1, \ldots, \epsilon_n$ son todos distintos y por lo tanto $\det B \neq 0$ (siendo un determinante de Vandermonde). Así, hemos encontrado todos los valores propios de $A$ y por eso debemos tener $\det(A) = \prod_{j=1}^n \beta_j$ según sea necesario.

Si no estás familiarizado con la noción de valores propios, podemos terminar el argumento directamente. Tenemos

$$ A \cdot B = (Av_1 | \ldots | Av_n) = (\beta_1 v_1 | \ldots | \beta_n v_n) = B \cdot \mathrm{diag}(\beta_1, \ldots, \beta_n). $$

Tomando el determinante de ambos lados y utilizando la propiedad de la multiplicatividad, tenemos $\det(A) \det(B) = \det(B) \prod_{j=1}^n \beta_j$ . Desde $\det(B) \neq 0$ tenemos $\det(A) = \prod_{j=1}^n \beta_j$ .