Referencias de Harish-Chandra pares y los módulos de la categoría de "S"?

Question

Estoy buscando las referencias a los términos "Harish-Chandra par" y "Harish-Chandra módulos", y también para el término de la categoría de "O". Sé lo que son, o creo que tengo que hacer (un Harish-Chandra par es un par (Mentira álgebra; subgrupo) con el subgrupo de actuar en la Mentira de álgebra, satisfacer algunas condiciones naturales). La pregunta es acerca de cualquier norma o fuentes clásicas podía referirse.

1. ¿Qué son los estándares o referencias clásicas para los términos "Harish-Chandra par" y "Harish-Chandra módulo"?
2. La misma pregunta para algebraica de Harish-Chandra pares y los módulos (con una expresión algebraica o proalgebraic subgrupo).
3. Un ejemplo de una categoría de Harish-Chandra módulos es la categoría de "O" de las representaciones de, por ejemplo, una simple Mentira álgebra, integrable a la Borel subgrupo. Otra versión es la categoría de representaciones integrable a la máxima unipotentes subgrupo. ¿Qué son los estándares o referencias clásicas para una o ambas de las anteriores definiciones de la categoría de "S"?
4. Mi entendimiento es que lo que se llamó "Harish-Chandra módulos" en la clásica teoría de la representación no era el ejemplo de arriba 3. a todos, sino a los módulos a través de una real Mentira álgebra integrable a la máxima compacto subgrupo. ¿Qué son los estándares o referencias clásicas para esta noción de Harish-Chandra módulos?

Answer 1

Estoy comentando en la parte 4) de tu pregunta, en realidad, creo: Harish-Chandra estaba interesado en el estudio de la central unitaria de doble, pero en el proceso se dio cuenta de que toda la estructura unitaria era bastante más de lo que uno necesita para llevar a todas partes, y además, que era necesario también considerar las representaciones, que no eran necesariamente unitario, y en este contexto más amplio de la analítica de las cuestiones de cuándo considerar dos representaciones de "equivalente" se entrometen en un lugar más prominente (porque, por ejemplo, hay un montón de diferentes tipos de espacios de funciones en un G-espacio).

La noción de "admisible módulo" -- un módulo donde cada irreductible de la representación de la máxima compacto subgrupo se produce con multiplicidad finita dio una clase natural de las representaciones, que incluye todas las representaciones unitaria, y una vez en esta clase es bastante natural para restringir la atención a la acción a la acción de la Mentira álgebra g, y la máxima compacto K (como la Mentira de álgebra actúa sobre K-finito de vectores). Por lo tanto, ciertamente, todos los motiviation de la noción de (g,K)-módulo debe ser debido a Harish-Chandra, pero no estoy seguro de si en realidad los resúmenes de la idea en sus papeles.

Yo no puedo decir de PDE original de papel si están pensando de la categoría O en el contexto de (g,K)-módulos: su motivación es mucho más de modular teoría de la representación. Una buena referencia para las representaciones de verdaderos grupos es el libro "Teoría de la Representación de la Mentira de los grupos" desde el Parque de la Ciudad de la escuela de verano -- por ejemplo, hay un artículo por Knapp y Trapa que se analiza la labor de Harish-Chandra.

También, me gustaría mencionar que la idea de considerar el par (g,K) donde g es el álgebra de la Mentira y K es la máxima compacto de una real Mentira grupo G es muy natural si se considera que el g acción contiene el infinitesimal de la información, mientras que la máxima K es un retractarse de G, y por lo que uno podría esperar que su acción capta suficiente de lo "global" de la información en la representación. (Creo que fue Graeme Segal, quien señaló a mí-tal vez un comentario obvio para él, pero me pareció interesante y al menos psicológicamente útil).

Answer 2

Harish-Chandra pares y su uso en la localización se discute en Beilinson-Bernstein Una prueba de Jantzen Conjeturas, disponible en José Bernstein de la página web. Véase, en particular, las secciones 1.8 y 3.3.

Otras fuentes:

1. Beilinson-Drinfeld, la cuantificación de Hitchin es Integrable Sistema y Hecke Eigensheaves, secciones 7.7-7.9. Disponible en línea.
2. Beilinson-Feigin-Mazur Notas sobre la Teoría conforme de campos (Incompleta). La discusión se centra en torno a groupoids y el álgebra de Virasoro. Esto es en Barry Mazur de la página web (enlace en el lateral para mayores "material").

Answer 3

Si eres capaz de leer en alemán y ahí podría ser un estándar de referencia para harish chandra módulos (sólo el propio yo sé que en realidad es más que sólo la definición de la materia de documentos): jantzen - Einhüllende Algebren halbeinfacher Mentira-Algebren, especialmente en el Capítulo 6 y 7.

Answer 4

Las primeras secciones de Gaitsgory de notas sobre la representación geométrica de la teoría de contener los datos básicos de la categoría O; pero no sé si esa referencia, ya sea clásica o estándar.

Answer 5

El libro "Envolvente álgebras de" por Dixmier parece contener algún material de Harish-Chandra módulos en el sentido clásico del término (es decir, con respecto a la máxima compacto subgrupo) y también en la Verma módulos, aunque no en Harish-Chandra pares o de la categoría de "O".

Además, hay un nuevo libro "las Representaciones de semisimple álgebras de Lie en el PDE de la categoría O", por Humphreys, AMS 2008. Se discute la categoría O en la gran longitud y contiene también algunas palabras sobre el clásico de Harish-Chandra módulos. Resumen Harish-Chandra pares no se mencionan.

Una discusión algebraico de Harish-Chandra pares en el infinito-dimensional proalgebraic de configuración (a través de los números complejos) se puede encontrar en el documento no publicado, "Notas sobre la Teoría conforme de campos" por Beilinson-Feigin-Mazur.