Anomalías clásicas y cuánticas

Question

He leído sobre anomalías en diferentes contextos y formas. Me gustaría leer una explicación que unificara todas estas afirmaciones o puntos de vista:

1. Las anomalías se deben a que las teorías cuánticas de campos (y tal vez las teorías mecánicas cuánticas con potencial singular) deben ser regularizado y es posible que ningún procedimiento de regularización respete todas las simetrías de la teoría clásica. Por ejemplo, según Fujikawa no se puede encontrar un funcional regularizado medida en la trayectoria integral que preserva las simetrías de la acción clásica.

2. Las anomalías se deben a que la teoría cuántica requiere un pedir receta para los operadores y puede ocurrir que ninguna prescripción de ordenación respete las simetrías de la teoría clásica. Aquí en principio se podrían tener anomalías en la mecánica cuántica con potenciales no singulares.

3. Las anomalías se deben a que los generadores de la simetría no dejan invariante el dominio de definición del Hamiltoniano y así, aunque el conmutador formal de esos generadores con el Hamiltoniano desaparece, las cargas no se conservan debido al término extra de superficie que aparece en la ecuación exacta de Heisenberg. No me queda claro si en este caso la anomalía ya está presente en la teoría clásica.

4. Las anomalías se deben a la aparición de gastos centrales en el álgebra de las cantidades conservadas. En este caso se pueden tener anomalías clásicas si es en el álgebra de corchetes de Poisson, o anomalías cuánticas si ocurre a nivel de conmutadores cuánticos.

Me gustaría que compartieras ejemplos y relaciones entre las perspectivas anteriores, y discusiones sobre su equivalencia. Lo único que veo es la siguiente relación:

Ordenación de operadores ----> diferente definición de medida integral de trayectoria.

Ordenación de operadores ----> funciones delta ---> regularización.

Ordenación de operadores ----> diferente álgebra de cargas conservadas.

Answer 1

Hoy en día existe una interpretación geométrica más fundamental de las anomalías que creo que puede resolver algunas de tus preguntas. La fuente básica de las anomalías es que clásica y cuántico-mecánicamente estamos trabajando con realizaciones y representaciones del grupo de simetría, es decir, dado un grupo de simetrías a través de una realización estándar en algún espacio necesitamos elevar la acción a los objetos geométricos adecuados con los que trabajamos en la teoría clásica y cuántica y a veces, esta acción no puede ser elevada. Matemáticamente, esto se denomina una obstrucción al levantamiento de la acción, que es el origen de las anomalías. Las obstrucciones a menudo conducen a la posibilidad de la realización no del grupo de simetrías en sí, sino de alguna extensión del mismo por otro grupo que actúa naturalmente sobre los objetos geométricos que definen la teoría.

Existen tres niveles de realización de un grupo de simetrías:

El nivel abstracto: por ejemplo, la acción del grupo de Lorentz (galileano) sobre un espacio de Minkowski (euclidiano). Esta representación, por ejemplo, no es unitaria, y no es la representación con la que trabajamos en mecánica cuántica.

El nivel clásico: Cuando la acción del grupo se realiza en términos de funciones pertenecientes al álgebra de Poisson de algún espacio de fase. Por ejemplo, la realización de los grupos Galileo o Lorentz en el espacio de fase de una partícula libre clásica.

El nivel cuántico cuando la acción del grupo se realiza en términos de representaciones lineales de operadores en algún espacio de Hilbert (o simplemente operadores pertenecientes a algún $C^*$ álgebra. Por ejemplo, la realización de los grupos Galileo o Lorentz en un espacio cuántico de Hilbert de una partícula libre.

Ahora bien, el paso del nivel abstracto al nivel clásico o al nivel nivel cuántico puede ir acompañado de una obstrucción. Estas obstrucciones existen ya en la mecánica cuántica y clásica con número finito de grados de libertad, y no sólo en las teorías cuánticas de campos. Dos ejemplos muy conocidos son el grupo galileano que no puede realizarse en el álgebra de Poisson del espacio de fases de la partícula libre, sino una extensión central del mismo con una relación de conmutación modificada:

$$[K_i, P_j] =-i \delta_{ij}m$$

se realiza. ( $K_i$ son aumentos y $P_i$ son traducciones $m$ es la masa). Esta extensión fue descubierta por Bargmann, y a veces se denomina grupo de Bargmann. Un segundo ejemplo, es la realización de sistemas de espín en términos de secciones de haces de líneas homogéneas sobre las dos esferas $S^2$ . Ahora, la acción del grupo de isometría $SO(3)$ no se puede elevar a haces de líneas correspondientes a espines semienteros, sino a un $\mathbb{Z}_2$ cuya extensión, a saber $SU(2)$ se puede levantar. En este caso el grupo extendido es semisimple y la cuestión que $SU(2)$ siendo una extensión de grupo de $SO(3)$ y no sólo una cubierta universal no suele destacarse en los textos de física.

Las extensiones de grupo realizadas como consecuencia de estas obstrucciones pueden requerir:

1) Representaciones del rayo del grupo original que son verdaderas representaciones del grupo extendido. Este es el caso de $SO(3)$ donde los espines semienteros pueden realizarse mediante epresentaciones de rayo de SO(3), que son verdaderas representaciones de $SU(2)$ . En este las álgebras de Lie de ambos grupos son isomorfas.

2) Extensiones de grupo correspondientes a extensiones de álgebras de Lie. Este es el caso más general que corresponde, por ejemplo, al caso galileano.

Ahora, en el nivel cuántico, uno puede entender más fácilmente, por qué las obstrucciones conducen a extensiones de grupo. Esto se debe a que buscamos representaciones que satisfagan dos condiciones adicionales:

1) Unitaridad

2) Energía positiva

A veces (hasta $1+1$ dimensiones), podemos satisfacer estas condiciones simplemente por ordenación normal, lo que da lugar a extensiones centrales de los grupos de simetría. Este método se aplica al caso de las álgebras de Virasoro y de Kac-Moody, que son extensiones centrales de las álgebras de Witt y de bucle, respectivamente, y pueden obtenerse en el nivel cuántico tras un ordenamiento normal.

La relación entre el orden normal y las anomalías puede explicarse en que los operadores de cuantización deben ser Operadores de Toeplitz . Un ejemplo muy conocido es la realización del oscilador armónico en el Espacio Bargmann de funciones analíticas, entonces los operadores de Toeplitz son exactamente aquellos operadores en los que todas las derivadas se desplazan hacia la derecha. Esto se denomina cuantización de Wick y corresponde exactamente a la ordenación normal en la representación algebraica. La principal propiedad de los operadores de Toeplitz es que su composición se realiza mediante productos estrella y los productos estrella de los operadores de Toeplitz son también operadores de Toeplitz, por lo que el álgebra de operadores cuánticos es cerrada, pero no es cerrada para el grupo original, sino para una extensión central del mismo. Esta importante interpretación aún no se ha extendido a las teorías de campo.

Cabe mencionar que las extensiones centrales no son las más extensiones más generales que se pueden obtener cuando una simetría se realiza en términos de operadores en la teoría cuántica. abelianas e incluso no abelianas. Una de las extensiones más conocidas de este tipo es la extensión Mickelsson-Faddeev del álgebra de densidades de carga no abelianas de fermiones quirales cuando están acoplados a un campo externo Yang-Mills en $3+1$ dimensiones:

$$[T_{a}(x), T_{b}(y)] = if_{ab}^c T_c(x) \delta^{(3)}x-y) +id_{ab}^c\epsilon_{ijk} \partial_i\delta^{(3)}(x-y) \partial_j A_{ck}$$

Esta extensión es una extensión abeliana no central.

La explicación de las "anomalías" de existencia en el caso clásico, es decir, sobre el álgebra de Poisson puede entenderse ya en el caso de la variedad simpléctica más simple $\mathbb{R}^2$ el álgebra de Poisson no es isomorfa al álgebra de traslaciones. Un análisis más profundo por ejemplo dado en: Marsden y Ratiu página 408 para el caso del grupo galileano. Demostraron que en el espacio de Hilbert de partículas libres, el grupo galileano se eleva a una extensión central (el grupo de Bargmann) que actúa unitariamente en el espacio de Hilbert de partículas libres: $\mathcal{H} = L^2(\mathbb{R}^3)$ . Ahora, el espacio proyectivo de Hilbert $\mathcal{PH}$ es una múltiple simpléctica (como cualquier espacio proyectivo complejo) en la que está embebido el espacio de fase de la partícula. La restricción de la representación al espacio proyectivo de Hilbert y luego al espacio de fase de la partícula conserva la extensión central, es decir, es isomorfa al grupo extendido, por lo que el grupo extendido actúa sobre el álgebra de Poisson.

De hecho, cabe esperar siempre que la anomalía se realice de forma clásica en el espacio de fases. El caso de las anomalías quirales fermiónicas parece singular, porque se acostumbra a decir que la anomalía sólo existe a nivel cuántico. La razón es que el espacio de variables de Grassmann no es realmente un espacio de fases, e incluso en el caso de los fermiones, la anomalía existe en el nivel clásico cuando uno los representa en términos de "coordenadas bosónicas". Estas anomalías se dan como términos de Wess-Zumino-Witten. (Por supuesto, estas representaciones no son útiles en la Teoría de Perturbaciones).

Otro razonamiento por el que las anomalías existen siempre en el nivel clásico (espacio de fases) es que en la cuantización geométrica se pueden obtener anomalías en el nivel de precuantización. Ahora bien, la precuantización no requiere más datos que el espacio de fases (no como la propia cuantización que requiere una polarización).

Ahora, tratando de responder a sus preguntas específicas. Es cierto que las anomalías quirales se descubrieron en las teorías cuánticas de campos cuando no se pudo encontrar ningún regulador ultravioleta que respetara la simetría quiral. Pero la anomalía es en realidad una propiedad infrarroja de la teoría. La señal para ello es el teorema de Adler-Bardeen de que no existe ninguna corrección de bucle superior (a uno) a la anomalía axial y, lo que es más importante, sólo las partículas sin masa contribuyen a la anomalía. En el enfoque del operador que he intentado adoptar en esta respuesta la anomalía es una consecuencia de una deformación que debe realizarse en los generadores de simetría para que estén bien definidos en el espacio físico de Hilbert y no una consecuencia directa de la regularización.

En segundo lugar, la anomalía existe por igual en los dos niveles, cuántico y clásico (en el espacio de fases). El caso de los fermiones y la regularización se abordó por separado.

Actualización - Elaboración del caso spin:

He aquí la elaboración del $SO(3)$ , $SU(2)$ que contiene todos los ingredientes relativos a la obstrucción al levantamiento y a las extensiones de grupo, excepto que no tiene una extensión de álgebra de Lie correspondiente.

Trabajamos en $S^2$ utilizando la coordenada de proyección estereográfica dada en términos de las coordenadas polares por:

$$z = \tan \frac{\theta}{2} e^{i \phi}$$

Un elemento del grupo $SU(2)$

$$g=\begin{pmatrix} \alpha& \beta\\ -\bar{\beta} & \bar{\alpha } \end{pmatrix}$$

actúa sobre $S^2$ según la transformación de Möbius:

$$ z \rightarrow z^g = \frac{\alpha z + \beta}{-\bar{\beta} z + \bar{\alpha } }$$

Sin embargo, se observa que la acción del elemento especial:

$$g_0=\begin{pmatrix} -1& 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$

es idéntica a la acción de la identidad. Este elemento es un elemento SU(2) que se proyecta a la unidad de SO(3). representación tridimensional que es la matriz unitaria). Así pues, el grupo que actúa de forma no trivial sobre $S^2$ es $SO(3)$

Ahora los sistemas de espín de mecánica cuántica pueden realizarse en la esfera en espacios de Hilbert de funciones analíticas:

$$ (\psi, \xi) = \int_{S^2} \overline{\xi(z)} \psi(z) \frac{dzd\bar{z}}{(1+\bar{z}z)^2}$$

Transformar bajo $SU(2)$ de acuerdo con:

$$ \psi(z) \rightarrow \psi^g(z) = (-\bar{\beta} z + \bar{\alpha })^{2j} \psi(z^{g^{-1}})$$

Se trata de una representación en forma de rayo de $SO(3)$ como $SO(3)$ no tiene representaciones de medio entero.

Ahora bien, la primera observación (el nivel cuántico) es que el elemento especial no actúa sobre las funciones de onda como el operador unitario, para espines semienteros añade añade una fase de $\pi$ . Esto es lo que significa que el $SO(3)$ acción no puede elevarse al espacio cuántico de Hilbert.

Pasemos ahora al nivel clásico. La forma simpléctica en $S^2$ es proporcional a su área elemento. La constante de proporcionalidad tiene que ser un número entero en una teoría precuantizable (condición de cuantización de Dirac)

$$\omega = 2j \frac{dz \wedge d\bar{z}}{(1+\bar{z}z)^2}$$

El correspondiente paréntesis de Poisson entre dos funciones en la esfera:

$$\{f, h\} =\frac{1}{2j} (1+\bar{z}z)(\partial_z f \partial_{\bar{z}} h - \partial_z h \partial_{\bar{z}} f)$$

La función que genera la acción del grupo en el álgebra de Poisson viene dada por por:

$$f_g= \left(\frac{\alpha \bar{z}z + \beta \bar{z} - \bar{\beta}z + \bar{\alpha}}{1+\bar{z}z}\right)^{2j}$$

Ahora, la función que representa la unidad de SU(2) en la función $f=1$ , mientras que la función que representa el elemento especial es $f=-1$ para espines semienteros, que es una función diferente (tiene que ser una constante porque pertenece a la centro de $SU(2)$ por lo que tiene que conmutar Poisson con todas las funciones.

Así, incluso a nivel clásico, la acción de $SO(3)$ no se eleva a el álgebra de Poisson.

Ahora, con respecto a la cuestión de distinguir clásicamente $SU(2)$ de $SO(3)$ . Si se calcula la función de partición clásica de un espín $\frac{1}{2}$ gas interactuando con un campo magnético, será diferente que decir spin $1$ pero gira $\frac{1}{2}$ sólo existe en primer lugar si $SU(2)$ actúa porque $SO(3)$ sólo permite giros enteros.

Answer 2

Para un análisis de las anomalías mediante impedancias cuánticas, véase

http://vixra.org/author/peter_cameron

el documento sobre las relaciones de ramificación pizero, eta y etaprime ofrece otra perspectiva