$X$ , $Y$ i.i.d r.v's. Demostrar que $\mathbb{E}[X\mathbb{1}_{\{X+Y \in B\}}] = \mathbb{E}[Y\mathbb{1}_{\{X+Y \in B\}}]$

Question

Dejemos que $X, Y$ sean variables aleatorias i.i.d con valores esperados finitos. Quiero justificar que $$\int_{\{x+y \in B\}}x\mu(dx)\mu(du)=\int_{\{x+y \in B\}}y\mu(dx)\mu(du).$$

Agradecería cualquier pista, consejo o explicación.

Answer 1

Definir la función $f\colon\mathbb R^2\to\mathbb R$ por $$f(x,y)=x\mathbf 1_B(x+y).$$ La igualdad que se quiere mostrar es $\mathbb E\left[f(X,Y)\right]=\mathbb E\left[f(Y,X)\right]$ . Para ello, utiliza los siguientes datos:

1. El vector aleatorio $(X,Y)$ tiene la misma distribución que $(Y,X)$ .
2. Por lo tanto, $f(X,Y)$ tiene la misma distribución que $f(Y,X)$ .