Retroceso de un mapa suave a lo largo de la reducción

Question

Dejemos que $Y \rightarrow X$ sea un morfismo suave de esquemas. Sea $X_{red}$ sea la reducción de $X$ . Me interesa el pullback $Z = X_{red} \times_X Y$ y su relación con $Y$ . Mis preguntas son:

1. Es $Z$ ¿Reducido?

2. Existe un mapa canónico $Z_{red} \rightarrow Y_{red}$ ya que la reducción es funcional. ¿Es este mapa un isomorfismo (Is $Z_{red} \cong Y_{red}$ )?

Quiero entender cuestiones como ésta, ya que me gustaría comprender mejor la relación entre los mapas suaves y los mapas de reducción. Formalmente los morfismos suaves se levantan (de forma no única) contra los mapas de reducción, y esto sería una propiedad más de interés.

Answer 1

1. Sí, es cierto que $Z$ se reduce. La razón es que $Z\to X^\text{red}$ es suave (ya que el pullback de smooth es suave) y entonces es fácil ver que $Z$ debe ser reducida (por ejemplo, véase [1, Proposición 2.4.4]--la noeterianidad no es realmente necesaria).

2. Esto también es cierto. Concretamente, hay que tener en cuenta que desde $X^\text{red}\to X$ es una incrustación cerrada y suryente por lo que entonces también lo es el pullback $Z\to Y$ . Desde $Z$ se reduce esto implica inmediatamente que $Z=Y^\text{red}$ .

[1] Fu, L., 2011. Teoría de la cohomología de Etale (Vol. 13). World Scientific.