Estas soluciones son las preferidas porque directamente encarnan la invariancia de escala de la ecuación. En general, cuando un problema físico tiene algún tipo de simetría como la parabólica de la dilatación de la invariancia de la ecuación del calor - entonces esto establece una acción correspondiente del grupo de simetría en las soluciones. La forma canónica basada en parámetros adimensionales a menudo son funciones propias de esta simetría.
Con la ecuación del calor, por ejemplo,
$$
\frac{\partial u}{\partial t}=D\frac{\partial^2 u}{\partial x^2},
$$
el trivial de simetría es una combinación de dilatación entre el espacio y el tiempo: en un problema que es el doble del tamaño, la solución será la misma, salvo la difusión del calor tendrá cuatro veces más largo. Para ser más precisos, si cambia las coordenadas de a$x'=a x$$t'=a^2 t$, por algún parámetro de escala $0<a<\infty$, entonces la ecuación es exactamente la misma:
$$
\frac{\partial u}{\partial t}=D\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}.
$$
Esto significa que para cualquier solución de $u_1(x,t)$ de la ecuación del calor, siempre se puede construir una familia infinita de soluciones,
$$
u_a(x,t)=a\, u_1(x,^2t).
$$
(He añadido un factor de escala en $u$ así, para mantener la conserva de calor total $q=\int_{-\infty}^\infty u_a(x,t)\,\text dx$ constante, aunque esto no es estrictamente necesario.)
Ahora, estas soluciones son probablemente diferentes a la original, a menos que uno esté completamente plana, pero como los físicos no estamos muy interesados en que y de que desea eliminar esta superfluo grado de libertad. (Debo señalar que los matemáticos son aún más gatillo fácil en eso, también.) No obstante, el problema es que, dado que todas son equivalentes, es difícil elegir un representante de la clase. Por otra parte, en general, de todas las $u_a$ serán linealmente independientes, por lo que son en algún sentido diferente.
Aquí es donde las formas canónicas de la tipo
$$
u^*(x,t)=\frac{q}{\sqrt{Dt}}U(x/\sqrt{Dt})
$$
vienen en. Debe quedar claro que estas soluciones son funciones propias de la dilatación de la simetría operador $L_a$, lo que significa que todos los $u_a$ son linealmente dependientes, lo que simplifica enormemente la correspondiente equivalencia de la clase.
En un ambiente más formal, tenemos un montón de simetría operadores que conmutan entre sí y con el diferencial operador $L=D\tfrac{\partial^2 }{\partial x^2}$, lo que significa que podemos desarrollar cualquier solución de $L=0$ como una combinación lineal de las funciones propias de la $L_a$ y - fundamentalmente - el tiempo de evolución en $\tfrac\partial{\partial t}=L$ va a preservar los coeficientes de esta expansión.
En un plano más pragmático de igualdad, es bueno que nos está garantizada la existencia de este tipo de soluciones debido a la simetría de la ecuación, pero mirando para ellos es útil, ya que reduce la dimensionalidad del problema: ahora tenemos que resolver un unidimensional de la educación a distancia en lugar de una de dos dimensiones de la PDE, y esta es una manera mucho más fácil el problema. El precio que debemos pagar es que no hay ninguna garantía de que las soluciones especiales encontramos coincidirá con las condiciones iniciales podemos necesidad de imponer, pero en general esto es algo en lo que estamos de acuerdo con el, porque podemos usar combinaciones lineales de estas soluciones especiales para resolver arbitrarias de las condiciones iniciales.
