Esfera en $C^3$ no es compacto?

Question

Dejemos que $A=\{(x,y,z) \in \mathbb{C}^3 \mid x^2+y^2+z^2=1\}$ no es compacto con topología euclidiana?

Mi intento - no está acotado ya que podemos elegir $x$ y $y$ sea arbitrariamente grande y esto obliga a que el valor de $z$ que está en $\mathbb C$ porque es algebraicamente cerrado.

Answer 1

¡Eso es! Tal vez una forma un poco más limpia de decir el mismo argumento sería: "Desde $\mathbb{C}$ es algebraicamente cerrado, para cualquier $a, b\in\mathbb{C}$ el polinomio $P(z)=a^2+b^2+z^2-1$ tiene una raíz; así que para cada $a, b$ hay algo de $c$ tal que $(a,b,c)\in A$ , lo que significa que $A$ no está acotado y, por tanto, no es compacto".

(Dependiendo del nivel de detalle que se desee, también puede ser necesario justificar la conclusión de que $A$ no está acotado. Pero esto no es difícil: basta con demostrar que $A$ contiene puntos arbitrariamente alejados del origen, y ningún conjunto acotado contiene puntos arbitrariamente alejados del origen).

Un giro ligeramente diferente que se puede dar a la misma idea es: has demostrado que desde $\mathbb{C}$ es algebraicamente cerrado, el proyección de $A$ en $\mathbb{C}^2$ - el conjunto $\{(x,y)\in\mathbb{C}^2: \exists z((x,y,z)\in A)\}$ - es todo $\mathbb{C}^2$ y, por tanto, no es compacto. Ahora se puede concluir que $A$ no es compacto a partir de los dos hechos siguientes (que son en sí mismos importantes):

• El mapa de proyección $(x,y,z)\mapsto(x,y)$ es continua.

• La imagen continua de un conjunto compacto es siempre compacta (así que contrapositivamente, si un conjunto tiene como imagen continua un conjunto no compacto, entonces el conjunto original también es no compacto) .

Esto es demasiado abstracto, ciertamente, pero es un buen "ejemplo de juguete" de cómo aplicar principios generales sobre el comportamiento de las propiedades topológicas (en este caso, cómo interactúan la compacidad y la continuidad).

Answer 2

Sí, no está acotado. Pero no es necesario mencionar $z$ o el hecho de que $\mathbb C$ es algebraicamente cerrado. Sólo hay que tener en cuenta que $A$ contiene todos los vectores de la forma $\left(ix,\sqrt{1+x^2},0\right)$ con $x\in\mathbb{R}$ . Y $$\left\|\left(ix,\sqrt{1+x^2},0\right)\right\|=\sqrt{1+2x^2}.$$