Demostrar que $HN = G$

Question

Dado $G$ - grupo finito, $N$ - su subgrupo normal, $|N|$ y $|G/N|$ son relativamente primos. Demostrar que si $H$ - es un subgrupo de $G$ y su orden es igual al orden de $G/N$ entonces $HN = G$ .

Answer 1

Como $N\lhd G$ , $HN$ es un subgrupo de $G$ . Sabemos que $H\le HN$ y $N\le HN$ Por lo tanto $|H|$ y $|N|$ ambos se dividen $|HN|$ .

Answer 2

Dejemos que $p:G\rightarrow G/N$ el mapa del cociente, y $x\in H$ , $p(x)=1$ implica que $x\in H\cap N$ Esto implica que $ord(x)||N|$ ya que $ord(x)| |H|$ y $gcd(|N|,|H|)=1$ deducimos que $x=1$ . Esto implica que la restricción de $p$ a $H$ es sobre ya que $|H|=|G/N|$ .

Dejemos que $y\in G$ existe $x\in H$ $p(x)=p(y), x(x^{-1}y)=y, x^{-1}y\in N$ desde $p(x^{-1}y)=1$ .

Answer 3

Una pista:

Demostrar que $H\cap N=\{e\}$ . Como consecuencia $HN\simeq H\times N\;$ es un subgrupo de $G$ tal que $\lvert HN\rvert=\lvert G\rvert\;$ .