Equivalentes lógicos para las conectivas en SL utilizando sólo el trazo de Sheffer

Question

Según forallx (P.D. Magnus, N.D.) toda frase escrita utilizando una conectiva de la lógica sentencial puede reescribirse como una frase lógicamente equivalente utilizando uno o más trazos de Sheffer $(A \mid B)$ . Hasta ahora he encontrado las equivalencias para:

$\lnot A$

$(A \,\&\,B)$

$(A \lor B)$

...Pero estoy luchando con los dos restantes:

$(A \to B)$

$(A \leftrightarrow B)$

¿Podría alguien ayudarme a entender las equivalencias de las dos últimas?

Answer 1

Recordemos que $A \to B$ equivale a $\lnot A \lor B$ y a $\lnot (A \land \lnot B)$ y que $A \leftrightarrow B$ equivale a $(A \to B) \land (B \to A)$ lo que equivale a $(\lnot A \lor B) \land (\lnot B \lor A)$ .

Así que, si eres capaz de expresar $\lnot A$ y $A \lor B$ y $A \land B$ en términos del operador NAND $\mid$ (también conocido como golpe de Sheffer), deberías ser capaz de expresar $A \to B$ y $A \leftrightarrow B$ en términos de $\mid$ (sólo compone las traducciones).

Por ejemplo, ya que $\lnot A \equiv A \mid A$ y $A \lor B \equiv (A \mid A) \mid (B \mid B)$ Entonces, usted tiene \begin{align} A \to B \equiv \lnot A \lor B \equiv (\lnot A \mid \lnot A) \mid (B \mid B) \equiv \dots \end{align}

Existe una traducción más corta (equivalente) de $A \to B$ . De hecho, desde que $A \mid B \equiv \lnot (A \land B)$ , uno tiene \begin{align} A \to B \equiv \lnot (A \land \lnot B) \equiv A \mid \lnot B \equiv \dots \end{align}