¿Es posible derivar la frecuencia angular de un oscilador armónico simple utilizando la energía total?

Question

Quiero demostrar que $$\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}$$ utilizando el hecho de que $$E=K+U=\frac{1}{2}mv_x^2+\frac{1}{2}kx^2=\frac{1}{2}kA^2.$$

El problema es que he derivado una fórmula que no es correcta:

Primero tomé la derivada temporal de la ecuación de la energía,

$\dfrac{dE}{dt}=mv_x\dfrac{dv_x}{dt}+kx\dfrac{dx}{dt}=kA\dfrac{dA}{dt}$

$\dfrac{dE}{dt}=mv_xa_x+kxv_x=kAv_x$ .

Así que ahora tenemos

$mv_xa_x+kxv_x=kAv_x$

$ma_x+kx=kA$

Sustituyendo $a_x=-\omega^2x$ da

$-m\omega^2x+kx=kA$

$m\omega^2x=k(x-A)$

$\omega^2=\dfrac{k}{m}\dfrac{(x-A)}{x}$

$\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}\dfrac{(x-A)}{x}}$ .

Esto es casi correcto pero no del todo...

¿Es posible demostrar esta fórmula de esta manera? Además, si no he hecho algo completamente incorrecto, ¿se trata de una fórmula estándar que no he visto antes?

Answer 1

La energía se conserva en un oscilador armónico simple, por lo que $dE/dt = 0$ . A partir de ahí puedes obtener la frecuencia angular por tu misma lógica.

Otra forma de ver esto: A es una constante del movimiento, por lo que su derivada temporal es 0.

Answer 2

Siempre que se quiera demostrar algo, hay que tener claras las hipótesis. Entiendo que quieres demostrar que una masa $m$ en un resorte con constante $k$ se mueve armónicamente con la frecuencia $\sqrt{k/m}$ pero parece que usted asume ese resultado en su "prueba":

En primer lugar, escribir $E = \frac12 k A^2$ ya implica que el movimiento es armónico con frecuencia $\sqrt{k/m}$ , en parte porque necesitas saber $x(t)$ y $\dot{x}(t)$ para conectarse a $E$ pero también porque $A$ es la amplitud, una noción que no tiene sentido si el movimiento no es armónico.

También, $dA/dt$ no es $v$ (porque $dx/dt$ es $v$ ), es cero: la amplitud es una constante. Usando eso se puede obtener la ecuación del movimiento, pero vuelve a haber el mismo problema: afirmar que $\ddot{x} = -\omega^2 x$ ya asume que $x$ es un movimiento armónico simple.

La forma de demostrar lo que se quiere es adivinar una solución de la forma $x=\cos(\omega t)$ (también puede utilizar $\sin(\omega t)$ ) y lo conectamos a la energía (y luego exigimos que la energía sea una constante, es decir, $dE/dt = 0$ ), o en la ecuación del movimiento $\ddot{x} + \frac{k}{m}x =0$ . Comprobarás que para que las ecuaciones se satisfagan, debe ser que $\omega^2 = \frac{k}{m}$ .