Servir porciones de pizza

Question

¿Puede alguien comprobar mi trabajo? Gracias.

Hay 15 porciones de pizza: 5 de queso, 5 de queso con pepperoni y 5 sin queso.

Supongamos que las pizzas se sirven en un orden determinado del 1 al 15.

(1) ¿Cuál es la probabilidad de que todas las lonchas de queso con pepperoni se sirvan dentro de las 10 primeras?

Mi trabajo: Primero elijo 5 lugares de los primeros 10 para ponerlos. Se pueden ordenar de 5! maneras. Las 10 plazas restantes se pueden ordenar de ¡10! maneras. ¡El número total de formas es 15! La respuesta es 8,39%.

(2) ¿Cuál es la probabilidad de que después de servir 10 rebanadas, sólo queden dos tipos? Me he quedado un poco atascado en este caso, pero mi idea es la siguiente: Elegir un tipo que se pueda hacer de 3 maneras. Coloque 5 de ese tipo en los primeros 10. Esos pueden ser ordenados de 5 maneras. Elegir dos lugares en los últimos cinco que se pueden hacer de 10 maneras y esos se pueden ordenar de 2! maneras. Ordena los restantes de 8! maneras. La respuesta es 5,6%.

(3) ¿Cuál es la probabilidad de que haya dos de cada tipo entre los seis primeros que se atienden? Coloca los seis en las seis primeras ranuras. Ordénalos de 6 maneras. Ordena el resto de 9! maneras. La respuesta es 0,02%.

Answer 1

Sobre la pregunta 2 si la interpretación es que como máximo quedan dos tipos después de $10$ Las rebanadas se sirven entonces

Para un tipo de pizza, la probabilidad de que acabe en primera $10$ servir es $\frac{12}{143}$ como se encontró en la pregunta $1$ . Pero también incluye la probabilidad de que dos tipos hayan terminado en primera $10$ que es

$\displaystyle \frac {10 \choose 10}{15 \choose 10} = \frac{1}{3003} $ para cualquier dos. Así que aplicando la inclusión-exclusión,

$\small P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P (A \cap B) - P (B \cap C) - P(A \cap C) + P(A \cap B \cap C) \ $

donde $A, B, C$ son eventos de un tipo de pizza que termina en primera $10$ sirviendo.

Así que, $\small P(A \cup B \cup C) = 3 \times \frac{12}{143} - \frac{3}{3003}$

Si la pregunta es sobre exactamente dos tipos para permanecer en el último $5$ Entonces tenemos todos los de un tipo servido en primera $10$ y para los otros dos tipos, el número de rebanadas sirve en primera $10$ son $(4, 1), (3,2), (2,3), (1,4)$ .

Entonces, la probabilidad $ \displaystyle = \frac{ {3 \choose 1} \times 2 \times \big({5 \choose 4} {5 \choose 1} + {5 \choose 3} {5 \choose 2}\big)} {15 \choose 10} = \frac{250}{1001}$

Sobre la pregunta 1 mientras que su trabajo es correcto, puede simplemente verlo como

$\displaystyle = \frac{10 \choose 5}{15 \choose 10} = \frac{12}{143}$

que está en la primera $10$ elegimos $5$ de $5$ queso con trozos de pizza de pepperoni y $5$ de lo que queda $10$ rebanadas vs. cualquier $10$ de $15$ rebanadas.

Para la pregunta 3 Piensa en el número de formas de elegir $2$ de $5$ porciones de pizza de cada tipo frente a cualquier $6$ rebanadas de $15$ .