Hace poco empecé a aprender teoría de números y me he dado cuenta de que hay muchas conjeturas sobre los números primos que no están demostradas. Algunos ejemplos serían si existen infinitos números primos de Mersenne, Sophie-Germain o Fermat. También hay problemas como la conjetura de Goldbach. Sin embargo, la definición de los números primos es muy sencilla. ¿Por qué es tan difícil trabajar con ellos? Soy muy novato en teoría de números, así que busco una respuesta sencilla e intuitiva.
Respuestas
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Ricky Ricardo
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He aquí una respuesta breve, vaga e incompleta, pero relacionada con muchos problemas abiertos (y con las conjeturas de Goldbach y de los primos gemelos): la primalidad es una condición multiplicativa, no aditiva. Entender cómo se distribuyen en una secuencia aritmética (por ejemplo, en los números naturales o para su uso en problemas que implican espacios primos (más o menos lo que se necesita en las dos conjeturas anteriores)) es tratar de entender cómo la noción de primalidad se relaciona con algo definido en términos de adición, y no hay una manera obvia de entender la definición de un número primo en términos de adición.
Edición: Me acabo de dar cuenta de que esto ya se ha mencionado en los comentarios, pero también puedo dejarlo aquí. la respuesta de frogeyedpeas trae a colación otro punto muy bueno.
Tim Ratigan
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5455
Me sorprende que en las demás respuestas no se haya hablado de la distribución de los números primos. Es bien sabido que $\pi(n)$ o el número de primos $p\le n$ es asintótica a $\int_2^n\frac1{\log x}\text dx\approx\frac{n}{\log n}$ que resulta ser una aproximación decente. Esto nos lleva a creer, mediante modelos probabilísticos, que los números primos se distribuyen aleatoriamente entre los números naturales. Esta heurística tiende a ser extremadamente precisa a la hora de describir las propiedades de los números primos, incluyendo muy buenas predicciones sobre cuántos números primos gemelos debería haber antes de que un determinado $n$ . Terence Tao tiene mucha literatura al respecto dirigida a los profanos.
En resumen, los números primos se comportan de forma pseudoaleatoria, lo que dificulta trabajar con ellos en un sentido riguroso.
frogeyedpeas
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Los números primos son un conjunto impar de números.
El quid del problema radica en el siguiente hecho:
la función $P(n)$ que sólo se sabe definir el n-ésimo primo utilizando la idea de que "el n-ésimo primo no es divisible por ningún primo por debajo de él" y "el primer primo es 2". Este tipo de definición impide resolver fácilmente cualquier cuestión relacionada con los números primos. Un ejemplo es la conjetura del primo gemelo. La pregunta es muy sencilla:
¿existen infinitos n tales que
$$P(n) - P(n-1) = 2?$$
Si dispusiéramos de una fórmula no recursiva (es decir, explícita, por complicada que fuera) para describir la función, de repente podrían utilizarse muchas herramientas, como el cálculo (por ejemplo, el método de Newton), el análisis funcional, la teoría de la resolubilidad de ecuaciones, etc., para abordar este problema.
Pero NO TENEMOS UNA DEFINICIÓN EXPLÍCITA.
Así que todo eso se va por la puerta y es esencialmente lo que hace que la Teoría de Números sea tan brutalmente desafiante y a la vez tan maravillosamente gratificante.
