Derivada funcional de la convolución

Question

¿Cómo realizar la siguiente derivada funcional?

$$\frac{\delta F}{\delta n(r)}$$ donde $$F=\int dr n(r) \int C(|r-r'|) n(r') dr'$$

es simplemente: $$2 \int dr' C(|r-r'|) n(r')$$ ?

Answer 1

Observe que $F$ es esencialmente una forma cuadrática; es decir, si se tratara de matrices entonces se tendría (en notación de suma): $$F = x_i C_{ij} x_j.$$ Entonces se utilizaría el hecho de que $\frac{\partial x_i}{\partial x_j} = \delta_{ij}$ para conseguir \begin{align} \frac{\partial F}{\partial x_k} &= \delta_{ik} A_{ij} x_{j} + x_i A_{ij} \delta_{jk} \ &= 2 A_ik x_k \end{align} si $A_{ij} = A_{ij}$ es decir, es simétrico.

Aquí, utilizamos un hecho similar: $$\frac{\delta n(x)}{\delta n(y)} = \delta(x-y)$$ donde $\delta$ esta vez es la distribución de Dirac. Su "matriz" en el centro es obviamente simétrica, por lo que su respuesta propuesta es correcta.