Adjunto del operador derivado

Question

He estado trabajando en este problema, y parece que no debería ser demasiado difícil, pero parece que no puedo armarlo.

Dejemos que $V$ sea el espacio de las funciones 2-periódicas (período de 2) $f$ con el producto interior $$ \langle f, g \rangle = \int_{1}^{2} f(t)g(t)\,dt $$ y que $T$ sea el operador de la derivada.

Necesito encontrar $T^*.$ Intenté usar la definición de un mapa adjunto, pero no fui capaz de averiguar cómo se sigue exactamente.

Answer 1

$\langle f, D^{*}g \rangle = \langle Df, g\rangle \iff \int_{0}^{2} f(x) (D^{*}g)(x) dx = \int_{0}^{2} (Df)(x) g(x) dx = I$ .

Dejar $u = g(x)$ , $u' = g'(x)$ , $v' = f'(x), v = f(x)$ en la integración por partes, obtenemos:

$I = \left[g(0 +2)f(0 +2) - g(0)f(0) \right] - \int_{0}^{2} f(x)g'(x)dx = \int_{0}^{2} f(x) \left(- g'(x) \right)dx$ .

De ello se desprende que $(D^{*}g)(x) = - g'(x)$ .

Answer 2

Pista: recuerda la fórmula de integración por partes:

$$ \int_a^bf^\prime(x) g(x)dx = f(x)g(x)\Big\vert_a^b - \int_a^bf(x)g^\prime(x) dx $$