Expresar matemáticamente la "Probabilidad de que #sucesos sea un número par"

Question

Necesito un poco de ayuda con mi concepto de probabilidad. Esta es la pregunta:

Una urna contiene $10$ bolas rojas, $20$ bolas verdes y $30$ bolas azules. Cada prueba consiste en sacar una bola de la urna con reemplazo. Si se extrae una bola roja o azul, la prueba se denomina éxito . Supongamos que $n$ se realizan ensayos independientes y se deja $P_n$ sea la probabilidad de que el número total de éxitos ese resultado es un número par. Encuentra $P_n$ y $\lim \limits_{n \to \infty} P_n$ .

Mi solución:

$$ P (\text{success}) = \frac{\binom{40}{1}}{\binom{60}{1}} = \frac {2}{3} .$$

Entonces es una v.r. binomial con parámetros $(n, \frac 2 3)$ .

¿Cómo expreso matemáticamente la idea "el número total de aciertos que resulta es un número par"?

Gracias por atender mi pregunta.

Answer 1

Dejemos que $P_n$ sea la probabilidad de que después de $n$ ensayos el número de aciertos es par.

Dejemos que $p$ sea la probabilidad de éxito en un ensayo cualquiera. En nuestro problema, $p=2/3$ pero podemos generalizar un poco.

El número de aciertos después de $n+1$ Los juicios pueden ser incluso de dos maneras: (a) Después de $n$ ensayos tuvimos un número impar de éxitos y obtuvimos un éxito en el $(n+1)$ -a juicio; o (b) Después de $n$ ensayos tuvimos un número par de éxitos, y tuvimos un fracaso en el $(n+1)$ -a de los ensayos. La probabilidad de (a) es $p(1-P_n)$ y la probabilidad de (b) es $(1-p)P_n$ . Por lo tanto, tenemos la recurrencia $$P_{n+1}=p(1-P_n)+(1-p)P_n=p+(1-2p)P_n.\qquad (\ast)$$ La recurrencia $(\ast)$ es lineal y hay general herramientas para resolver estas recurrencias. Pero la recurrencia es particularmente sencilla, al igual que la situación física, por lo que utilizaremos un truco.

Es intuitivo que si $p(1-p)\ne 0$ y $n$ es grande, entonces $P_n$ debe estar cerca de $1/2$ . Dejemos que $P_n=1/2+y_n$ y sustituirlo por $(\ast)$ . Hay una gran cantidad de cancelaciones, y obtenemos $$y_{n+1}=y_n(1-2p). \qquad (\ast\ast)$$ Tenga en cuenta que $y_0=1/2$ ya que si hay $0$ ensayos, seguro que hay $0$ éxitos. Cada vez que incrementamos $n$ por $1$ , $y_n$ se multiplica por $1-2p$ . Así que la secuencia $(y_n)$ es el geométrico secuencia $y_n=\frac{1}{2}(1-2p)^n$ , y por lo tanto $$P_n=\frac{1}{2}(1+(1-2p)^n).$$ Si $p=0$ o $p=1$ , $P_n$ está completamente determinada por la paridad de $n$ . Supongamos ahora que $p\ne 0$ y $p\ne 1$ . Entonces $|1-2p|<1$ Así que $(1-2p)^n$ se acerca a $0$ como $n \to\infty$ . Así, $P_n$ efectivamente tiene límite $1/2$ .

Observaciones: $1$ . El enfoque de recurrencia puede utilizarse con problemas más complicados, como determinar la probabilidad de que el número de aciertos después de $n$ los ensayos son un múltiplo de $3$ .

$2$ . También se puede utilizar un enfoque algebraico que es básicamente una reformulación de la solución de Didier Piau. Sea $F_n(t)=(tp +(1-p))^n$ . Ampliar $F_n(t)$ utilizando el Teorema Binomial. Evaluar $F_n(t)$ en $t=1$ y en $t=-1$ se suman. Supongamos que $k$ es impar. Entonces los términos $\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ y $\binom{n}{k}(-p)^k(1-p)^{n-k}$ cancelar. Supongamos que $k$ está en paz. Entonces los términos $\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ y $\binom{n}{k}(-p)^k(1-p)^{n-k}$ son iguales. De ello se desprende que $$P_n=\frac{1}{2}(F_n(1)+F_n(-1))=\frac{1}{2}(1^n+(1-2p)^n).$$

$3$ . Cuando dejamos que $y_n=1/2+F_n$ La recurrencia se ha simplificado. Consideremos la recurrencia general $P_{n+1}=a+bP_n$ , donde $b \ne 1$ . Realice la sustitución $F_n=w+y_n$ . Obtenemos $y_{n+1}=by_n +a+ bw-w$ . Al establecer $w=a/(1-b)$ obtenemos la recurrencia $y_{n+1}=by_n$ que es sencillo de resolver.

Answer 2

Desde $P_n=P(X_n\ \text{is even})$ con $X_n$ binomio $(n,p)$ y $p=\frac23$ , $$P_n=\sum\limits_{k\geqslant0}P(X_n=2k)=\sum\limits_{k\geqslant0}{n\choose 2k}p^{2k}(1-p)^{n-2k}. $$ A partir de este punto, puede ser útil observar que, por cada $(x,y)$ se puede calcular $$ e_n(x,y)=\sum\limits_{k\geqslant0}{n\choose 2k}x^{2k}y^{n-2k}\quad \text{and}\quad o_n(x,y)=\sum\limits_{k\geqslant0}{n\choose 2k+1}x^{2k+1}y^{n-2k-1} $$ ambos al mismo tiempo considerando $e_n(x,y)+o_n(x,y)$ y $e_n(x,y)-o_n(x,y)$ .

Editar Una vez calculado $P_\infty=\lim\limits_{n\to\infty} P_n$ , es posible que desee comprobar que $P_\infty=\frac23(1-P_\infty)+\frac13P_\infty$ y explicar por qué esta relación, que permite calcular $P_\infty$ sin saber cuál es la fórmula exacta de $P_n$ es, debe mantenerse.