¿Cómo puedo saber si una familia cerrada de intersección son los planos de un matroide binario?

Question

Supongamos que tengo un par $(X,\mathcal{F})$ tal que $\mathcal{F}$ es una familia cerrada de intersección de subconjuntos de $X$ para lo cual $X\in \mathcal{F}$ ¿hay alguna técnica que pueda utilizar para determinar fácilmente si $\mathcal{F}$ es el conjunto de planos de algún matroide binario basado en $X$ ?

Preferiblemente uno que no implique reconstruir un mapa de cierre, utilizarlo para encontrar conjuntos independientes y luego verificar que se trata de un matroide y que todos sus circuitos satisfacen una serie de propiedades, es decir, sólo una prueba sobre conjuntos en $\mathcal{F}$ sería bueno.

Answer 1

Primero compruebe si $\mathcal{F}$ es el conjunto de planos de un matroid verificando los tres axiomas planos (véase, por ejemplo, la sección sobre planos de la página de la wikipedia sobre matroides ). Por lo que has dado sobre tu conjunto de conjuntos cerrados sólo necesitas comprobar allí la tercera condición.

Si sus conjuntos cerrados son los planos de algún matroide, construya la red de planos asociada y confirme que cada intervalo de altura dos tiene como máximo cinco elementos (véase, por ejemplo, el documento sección de caracterizaciones alternativas de la página de la wikipedia sobre matroides binarios).