La expectativa finita de un proceso implica un proceso finito

Question

Dado un proceso estocástico adaptado regular (es decir, continuo por la derecha con límites por la izquierda) $(X_t)_{t\geq 0}$ y dado que $\int _0 ^{T} \mathbf{E}\left[X_s^2\right] < +\infty$ ¿cómo se demuestra que $\int _0^T X_s^2 ds < +\infty$ ?

Mi intento:

Utilizando el teorema de Fubini (cuyas hipótesis se cumplen efectivamente) vemos que $\mathbf{E}\left[\int _0 ^{T} X_s^2\right]ds = \int _0 ^{T} \mathbf{E}\left[X_s^2\right]ds < +\infty$ Pero, ¿cómo puedo seguir adelante? ¿Puedo concluir que como la expectativa es finita, la variable aleatoria será finita?

Answer 1

Esto es realmente elemental y por lo tanto no requiere la desigualdad de Jensen.

Lema. Si $Y$ es un $\mathbf{P}$ -a.s. variable aleatoria no negativa tal que $\mathbf{E}\left[Y\right] < + \infty$ entonces $Y < +\infty$ $\mathbf{P}$ -a.s.

Prueba. De hecho, supongamos que no tenemos $Y < +\infty$ $\mathbf{P}$ -a.s. Esto significa que $\mathbf{P}\left[\{ Y < + \infty \}\right] < 1$ por lo que $\mathbf{P}\left[\{ Y = + \infty \}\right] > 0$ . Observación: $A := \{ Y = + \infty \}$ vemos entonces que $\mathbf{E}\left[Y\right] = \int_{\Omega} Y d\mathbf{P} \geq \int_A Y d\mathbf{P} = \int_{A} (+\infty) d\mathbf{P} = +\infty$ lo que contradice el hecho de que $\mathbf{E}\left[Y\right] < + \infty$ . (Para la última igualdad hay que tener en cuenta que $\int_{A} (+\infty) d\mathbf{P} \geq \int_{A} n d\mathbf{P} = n \mathbf{P}\left[A\right]$ para todos $n\in\mathbf{N}$ y utilizar el hecho de que $\mathbf{P}\left[A\right] > 0$ .)

Aplicando el lema a $Y = \int_0^T X_s^2 ds$ permite concluir.