Utiliza pruebas directas para demostrarlo: Si $A \cap B = A \cap C$ y $A \cup B = A \cup C$ entonces $B = C$

Question

Me interesa saber si el método que he utilizado es correcto. Últimamente me estoy enseñando a mí mismo las pruebas y estoy teniendo dificultades con la forma de enfocar un problema, así que cualquier consejo general sería genial también. Esto es lo que tengo:

Supongamos que $A \cap B = A \cap C$ y $A \cup B = A \cup C$ .

Dejemos que $x \in B$ .

Dejemos que $x \in A$ .

Entonces, $x \in A \cap B$ .

Desde $A \cap B = A \cap C$ , $x$ también debe ser un elemento de $C$ .

Eso es, $x \in C$ .

Usando el mismo pensamiento podemos demostrar la $A \cup B = A \cup C$ caso. Es decir.

Supongamos que $A \cap B = A \cap C$ y $A \cup B = A \cup C$ .

Dejemos que $x \in B$ .

Dejemos que $x \in A$ .

Entonces, $x \in A \cap B$ .

Desde $A \cup B = A \cup C$ , $x$ también debe ser un elemento de $C$ .

Eso es, $x \in C$ .

Por último, vemos que para cualquier $x \in B$ se deduce que $x \in C$ también. Podemos demostrar que lo contrario es cierto dejando que $x \in C$ . Así, $B = C$ .

Answer 1

La primera está casi bien, pero la segunda subprueba es errática.

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Su primera prueba debería demostrarlo: "Dado que $A\cap B=A\cap C$ cualquier elemento de $B$ que es un elemento de $A$ también es un elemento de $C$ .   Por lo tanto, deducimos $A\cap B\subseteq C$ y simétricamente $A\cap C\subseteq B$ "

Su segunda prueba debe demostrarlo: "Dado que $A\cup B=A\cup C$ entonces cualquier elemento de $B$ que no es un elemento de $A$ es un elemento de $C$ .   Por lo tanto, $B\setminus A\subseteq C$ y simétricamente $C\setminus A\subseteq B$ "

Entonces tienes que añadir algo como "Así, todos los elementos de $B$ son elementos de $C$ eso es: $B\subseteq C$ y también todos los elementos de $C$ son elementos de $B$ eso es: $C\subseteq B$ .   Por lo tanto, estos dos conjuntos son idénticos".

$$A\cap B=A\cap C, A\cup B=A\cup C ~\implies~ B=C$$

$\Box$ Con sus propias palabras, por supuesto.

Answer 2

No has demostrado que si $x\in B$ entonces $x\in C$ . Más bien, ha demostrado que si $x\in B$ y $x\in A$ entonces $x\in C$ .

Has caído en un error común en tu uso de la palabra "dejar". He visto mucho este uso, pero no estoy seguro de lo que tú (u otros) quieren decir con él. Creo que la mayoría de los matemáticos usarían la palabra "suponer". $x\in B$ y $x\in A$ ."

Este es un enfoque: Demostrar que para cualquier $A,B$ :

$$B=\left((A\cup B)\setminus A\right)\cup (A\cap B))$$

Entonces, si $A\cup B=A\cup C$ y $A\cap B=A\cap C$ entonces:

$$\begin{align}B&=\left((A\cup B)\setminus A\right)\cup (A\cap B))\\ &=\left((A\cup C)\setminus A\right)\cup (A\cap C))=C \end{align}$$

Answer 3

Creo que la prueba debería ser así:

Supongamos que $x\in B$ . Entonces $x\in A \cup B=A\cup C$ . Si $x\in C$ entonces bien. Si $x\in A$ entonces está en $A\cap B=A\cap C$ por lo que está en $C$ .

Entonces asume $x\in C$ . Por un argumento simétrico al que acabamos de dar, es en $B$ .