Par de PDEs a resolver conjuntamente

Question

Tengo el siguiente par de ecuaciones que hay que resolver juntas para encontrar las funciones $H_{x}$ y $H_{y}$ que son los componentes de un vector $\bar{H}(x,y)=H_{x}(x,y)\hat{x}+H_{y}(x,y)\hat{y}$ en coordenadas cartesianas planas $(x,y)$ y con $\mu$ siendo una constante:

\begin{eqnarray} \frac{\partial^{2}H_{y}}{\partial x \partial y}&=&\frac{\partial^{2}H_{x}}{\partial y^{2}}+\mu H_{x}\\ \frac{\partial^{2}H_{x}}{\partial x \partial y}&=&\frac{\partial^{2}H_{y}}{\partial x^{2}}+\mu H_{y} \end{eqnarray}

¿Cómo procedo para resolver este conjunto de ecuaciones para $H_{x}$ y $H_{y}$ ?

NOTA: La combinación de este conjunto en formato vectorial puede escribirse como una ecuación: $\nabla\times\nabla\times\bar{H}(x,y)=\mu\bar{H}(x,y)$ . Esta puede ser una forma alternativa de expresar las ecuaciones anteriores, pero aún así, no estoy seguro de cómo abordarlo y encontrar $\bar{H}$ .

Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Tomando $\partial_x$ en la primera ecuación y $\partial_y$ en la segunda ecuación obtenemos

$${\partial^3 H_y \over \partial x^2 \partial y} = {\partial^3 H_x \over \partial x\partial y^2} + \mu {\partial H_x \over \partial x}$$ $${\partial^3 H_x \over \partial x \partial y^2} = {\partial^3 H_y \over \partial x^2\partial y} + \mu {\partial H_y \over \partial y}$$

lo que implica

$$\mu\left[ {\partial H_x \over \partial x} + {\partial H_y \over \partial y}\right] = 0$$

o en notación vectorial $\mu(\nabla \cdot H) = 0$ . Esto también puede derivarse más fácilmente de $\nabla\times\nabla\times H = \mu H$ y el hecho de que $\nabla\cdot (\nabla\times A) = 0$ . Ahora utilizamos esto para simplificar el conjunto de ecuaciones originales

$$-{\partial^2 H_x \over \partial x^2} = {\partial^2 H_x \over \partial y^2} + \mu H_x$$ $$-{\partial^2 H_y \over \partial y^2} = {\partial^2 H_y \over \partial x^2} + \mu H_y$$

que puede escribirse de forma más compacta

$$\nabla^2 H_x + \mu H_x = 0$$ $$\nabla^2 H_y + \mu H_y = 0$$

o en notación vectorial $\nabla^2 H + \mu H = 0$ dado $\mu(\nabla\cdot H) = 0$ . Se trata de un espacio Ecuación de Helmholtz .

Para resolverlo se puede aplicar la separación de variables $H_x = A(x)B(y)$ y similares para $H_y$ . Esto le dará ecuaciones

$$\frac{\partial_{xx}A}{A} = E$$ $$\frac{\partial_{yy}B}{B} = -\mu-E$$

Los valores permitidos para $E$ se deduce de las condiciones de contorno. Se dan más detalles aquí y aquí . Lo único que queda por hacer después de resolver las dos ecuaciones para $H_x$ y $H_y$ es hacer cumplir la condición $\nabla\cdot H = 0$ .

Answer 2

$\newcommand{\+}{^{\dagger}} \newcommand{\angles}[1]{\left\langle\, #1 \,\right\rangle} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\, #1 \,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\, #1 \,\right\rbrack} \newcommand{\ceil}[1]{\,\left\lceil\, #1 \,\right\rceil\,} \newcommand{\dd}{{\rm d}} \newcommand{\down}{\downarrow} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,} \newcommand{\fermi}{\,{\rm f}} \newcommand{\floor}[1]{\,\left\lfloor #1 \right\rfloor\,} \newcommand{\half}{{1 \over 2}} \newcommand{\ic}{{\rm i}} \newcommand{\iff}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} \newcommand{\isdiv}{\,\left.\right\vert\,} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert #1\right\rangle} \newcommand{\ol}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\, #1 \,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\pp}{{\cal P}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\vphantom{\large A}\,#2\,}\,} \newcommand{\sech}{\,{\rm sech}} \newcommand{\sgn}{\,{\rm sgn}} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{{\rm d}^{#1} #2}{{\rm d} #3^{#1}}} \newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\, #1 \,\right\vert} \newcommand{\wt}[1]{\widetilde{#1}}$ Con la identidad $\ds{\nabla\times\nabla = \nabla\nabla\cdot\ -\ \nabla^{2}}$ la ecuación para $\ds{\tilde{H}\pars{x,y}}$ se convierte:

\begin{align} \pars{\nabla^{2} + \mu}\tilde{H}\pars{x,y} =\nabla\bracks{\nabla\cdot\tilde{H}\pars{x,y}}\tag{1} \end{align}

1. Sospecho que $\ds{\tilde{H}\pars{x,y}}$ es un Campo magnético $\ds{\tt\pars{~\mbox{Is't true ?}~}}$ que satisface $\nabla\cdot\tilde{H}\pars{x,y} = 0$ . En ese caso la ecuación se convierte en una ecuación de Helmholtz.
2. De lo contrario, se puede transformar de Fourier la Ec. $\pars{1}$ : $$ -\pars{k^{2} - \mu}\tilde{H}\pars{\vec{k}} =-\vec{k}\ \vec{k}\cdot\tilde{H}\pars{\vec{k}} $$

Answer 3

Esto se parece a la ecuación de Poisson. El enfoque estándar para resolverla es por separación de variables.

En su caso, supondremos que $\bar H(x,y)$ se puede escribir como: $$\bar H(x,y) = F_x(x)G_x(y) \hat x + F_y(x)G_y(y) \hat y$$