Tenga en cuenta que, si toma $\phi=0$ entonces la ecuación se reduce a $w_y =0$ es decir, si $D\subset C$ es el dominio de $w$ y $x:D\to\mathbb{R}$ es la proyección sobre el $x$ -y tiene fibras conectadas, entonces $w= h(x)$ para algunos $C^1$ función $h:x(D)\to\mathbb{C}$ y esta es la solución general en tales $D$ .
Algo similar ocurre en general: Escribe $$ \mathrm{d}w = w_z\,\mathrm{d}z + w_{\bar z}\,\mathrm{d}\bar z = w_z\,(\mathrm{d}z + \mathrm{e}^{i\phi(z)}\,\mathrm{d}\bar z) = \mathrm{e}^{i\phi(z)/2}w_z\left(\mathrm{e}^{-i\phi(z)/2}\mathrm{d}z + \mathrm{e}^{i\phi(z)/2}\,\mathrm{d}\bar z\right). $$ A continuación, se establece $\alpha = \mathrm{e}^{-i\phi(z)/2}\mathrm{d}z + \mathrm{e}^{i\phi(z)/2}\,\mathrm{d}\bar z$ vemos que $\alpha$ es un valor real $1$ -y, por tanto, siempre tiene un factor de integración local, es decir, se puede escribir localmente en la forma $\alpha = f\,\mathrm{d}u$ para algunas funciones de valor real $u$ y $f>0$ . Por lo tanto, si $D\subset\mathbb{C}$ es un dominio tal que $\alpha$ puede escribirse como $\alpha = f\,\mathrm{d}u$ para algunas funciones de valor real $u$ y $f>0$ en $D$ y las fibras de $u:D\to u(D)\subset \mathbb{R}$ están conectados, entonces cualquier solución de su ecuación en $D$ puede escribirse de la forma $w = h(u)$ para algunos $C^1$ función $h:u(D)\to\mathbb{C}$ y cada uno de estos $h$ es decir $C^1$ da una solución. Esto se debe a que su ecuación para $w:D\to\mathbb{C}$ se reduce a $\mathrm{d}w = p\,\mathrm{d}u$ para alguna función $p:D\to\mathbb{C}$ .
La importancia de $\phi$ ser armónico no está realmente claro (aparte de asegurar que $\alpha$ es real-analítica, por lo que $u$ puede considerarse también real-analítica). Ciertamente, el comportamiento de $\phi$ determinará qué dominios $D\subset\mathbb{C}$ tienen la forma adecuada para soportar un factor integrador para $\alpha$ pero no me queda claro que sólo exigir que $\phi$ be harmonic le ofrece mucha información de fácil acceso en este sentido.
