¿Cómo puedo conseguir $\mathbb{E}[h(X)g(Y)] = \mathbb{E}[\mathbb{E}[g(Y)\mid X]h(X)]$ ?

Question

¿Cómo puedo conseguir $\mathbb{E}[h(X)g(Y)] = \mathbb{E}[\mathbb{E}[g(Y)\mid X]h(X)]$ ?

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Sé que $$\mathbb{E}[h(X)] = \int_X h(x)f(x) \; dx$$ y $$\mathbb{E}[h(X,Y)] = \int_{X\times Y}g(x,y)f(x,y) \; dy \; dx$$

Pero entonces $\mathbb{E}[g(X)h(Y)]$ ¿es?

Answer 1

$$ \mathbb E(h(X) g(Y)\mid X) = h(X)\cdot\mathbb E(g(Y)\mid X) $$ porque cuando se condiciona el valor de $X$ Cualquier cosa cuyo valor esté determinado por $X$ se convierte de hecho en una "constante". Su valor es constante en cada subconjunto del espacio de probabilidad en el que $X$ tiene un valor determinado.

En el espacio de probabilidad original, la expresión a ambos lados de la igualdad anterior es una variable aleatoria y es una función de $X$ .

Ahora toma los valores esperados de ambos lados de la igualdad anterior y ya lo tienes.

Answer 2

$$\begin{aligned} \int_X \int_Y h(x)g(y) f(x,y) \; dy \; dx &= \int_X \int_Y h(x)g(y) f(y\mid x)f(x) \; dy \; dx \\ &= \int_X \left(\int_Y g(y) f(y\mid x) \; dy \right) \; h(x) f(x) \; dx \\ &= \int_X \mathbb{E}[g(Y)\mid X] \; h(x)f(x) \; dx \\ &= \mathbb{E}[\mathbb{E}[g(Y)\mid X] h(X)] \end{aligned}$$