Producto de $\mathbb{R}_{disc}$ metrizable

Question

Demostrar que $X=\prod\limits_{n=1}^\infty\mathbb{R}_{disc}$ es metrizable.

Sé que hay dos direcciones diferentes que podría tomar:

1. Demostrar que $X$ es regular y tiene una base contablemente finita

2. Definir una incrustación $j:X\rightarrow Y$ en un espacio metrizable $Y$

No estoy seguro de cuál es más fácil/más apropiado. ¿Puede alguien indicarme la dirección correcta?

Answer 1

Yo optaría por una tercera dirección definiendo una métrica sobre $X$ similar a la de Espacio Baire como sigue. Para cualquier punto $x=(x_n)$ y $y=(y_n)$ de $X$ poner $N(x,y)=\min\{n:x_n\ne y_n\}$ y $d((x_n),(y_n))=2^{-N(x,y)}$ .