Creo que es un poco difícil articular dónde está el extra $1$ y cómo deshacerse de él, ya que se originó a partir de una combinación de dos errores distintos.
Dejemos que $A$ sea el conjunto de acciones que posee Albert, y que $R$ sea el conjunto de acciones que posee Rena, y sea $U$ sea el conjunto de todas las acciones. El conjunto de acciones que no posee Albert es $A'=U\setminus A$ el conjunto de acciones que Rena no posee es $R'=U\setminus R$ .
El cálculo directo que das primero, enunciado en este lenguaje, es $$ \lvert U\setminus(A\cup R)\rvert=\lvert U\rvert-\lvert A\rvert-\lvert R\rvert=1-\frac{5}{9}-\frac{1}{2}\cdot\frac{5}{9}=\frac{1}{6}, $$ donde el lado derecho de esta ecuación se justifica por las propiedades que $A$ y $R$ son subconjuntos disjuntos de $U$ .
La forma correcta de hacer el cálculo utilizando los complementos $A'$ y $R'$ es calcular $\lvert A'\cap R'\rvert$ . Creo que tu amigo ha cometido dos errores,
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informática $\lvert A'\cup R'\rvert$ en lugar de $\rvert A'\cap R'\rvert$ y
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informática $\lvert A'\cup R'\rvert$ utilizando $\rvert A'\cup R'\rvert=\lvert A'\rvert+\lvert R'\rvert$ que ignora el solapamiento de $A'$ y $R'$ .
Fijemos primero (2) utilizando el principio de inclusión-exclusión, que establece que $$ \lvert X\cup Y\rvert=\lvert X\rvert+\lvert Y\rvert-\lvert X\cap Y\rvert. $$ Aplicando esto a la unión de $A'$ y $R'$ da $$ \lvert A'\cup R'\rvert=\lvert A'\rvert+\lvert R'\rvert-\lvert A'\cap R'\rvert=\frac{4}{9}+\frac{13}{18}-\lvert A'\cap R'\rvert=\frac{7}{6}-\lvert A'\cap R'\rvert. $$ ¿Cómo se arregla (1)? En otras palabras, ¿cómo calculamos $\lvert A'\cap R'\rvert$ ? Bueno, podemos utilizar la ecuación anterior. Un poco de álgebra da $$ \lvert A'\cap R'\rvert=\frac{7}{6}-\lvert A'\cup R'\rvert. $$ Esto podría no parecer un progreso porque expresa la intersección desconocida en términos de la unión desconocida. Pero en realidad la unión no es desconocida: cada acción no es propiedad de uno de los dos. Así que $A'\cup R'$ es igual a $U$ el conjunto de todas las acciones. Por lo tanto, $$ \lvert A'\cap R'\rvert=\frac{7}{6}-\lvert A'\cup R'\rvert=\frac{7}{6}-\lvert U\rvert=\frac{7}{6}-1=\frac{1}{6}. $$
Si tuviera que resumir, diría que el extra $1$ proviene de la unión del conjunto de acciones que no son propiedad de Albert y el conjunto de acciones que no son propiedad de Rena, que es, de hecho, el conjunto de todas las acciones. La razón para restar este $1$ es corregir los dos errores mencionados anteriormente.
