Necesidad de resolver una suma

Question

Necesito resolver una suma: $$\sum_{k=0}^{n} k(k-1)C_{n}^{k} $$

¿Cómo empezar y qué fórmulas o teoremas debo utilizar?

Answer 1

Sugerencia :

$\displaystyle\sum_{k=0}^n\binom nk x^k=(1+x)^n$ Así que $$\bigl((1+x)^n\big)''=\sum_{k=0}^n\binom nk k(k-1)x^{k-2}.$$

Answer 2

Pregunta: ¿De cuántas maneras podemos elegir un grupo en un conjunto de $n$ pueblo y luego presidente y luego vicepresidente?

Bueno podemos primero un grupo de $k$ personas, es decir ${n\choose k}$ para cada $k\leq n$ y luego presidente entre ellos, por lo que tenemos $k$ elecciones y luego $k-1$ elecciones para V.P. Suma para todos $k$ nos encontramos con que:

$$\sum_{k=0}^{n} k(k-1)C_{n}^{k} $$

Por otro lado, podemos elegir primero un presidente entre todas las personas, por lo que tenemos $n$ posibilidades y luego V.P. para quien tenemos $n-1$ y luego elegimos cualquier conjunto en conjunto de $n-2$ gente, para eso tenemos $2^{n-2}$ elecciones, así que:

$$n(n-1)2^{n-2}$$ y esta es la respuesta a su pregunta.

Answer 3

HINT

Recordemos que por el teorema del binomio

$$(1+x)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k} x^k$$

entonces podemos utilizar la derivada y establecer un valor conveniente para $x$ .

Answer 4

Para empezar, $x^k$ es una función continua. Así que intercambiamos sumas infinitas y derivadas que involucran a esta función. Ahora escribimos $$ \sum_{k=1}^{n} \frac{\partial{^2}}{\partial{x^2}}(x^k ) \times \binom{n}{k} = \frac{\partial{^2}}{\partial{x^2}} \sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k}x^k $$ y seguir la solución de @gimusi

EDITAR: establecer el LHS de esta expresión en $G(x)$ y para obtener el conjunto de resultados finales $x=1$