Valor esperado de $1/X$ .

Question

Dada una variable aleatoria $X$ con función de densidad de probabilidad $$f(x)=\frac5{x^6}\mathbf 1_{\{x>1\}}$$ Estoy tratando de encontrar la media de $1/X$ . Después de hacer la transformación encuentro que $f(1/x)=5x^4$ . Hasta ahora sólo me han salido números enteros pero se supone que la respuesta es una fracción.

¿Alguna idea?

Answer 1

$$ <1/x>=\int_1^\infty dx (1/x)5/x^6=5\int_1^\infty dx\frac{1}{x^7}=\frac{5}{6}\ . $$

Answer 2

\begin{align}\Bbb E\left[\frac1X\right]&=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac1xf(x)d x=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac1x\cdot \frac5{x^6}\mathbf 1_{\{x>1\}}dx=\int_{1}^{+\infty}\frac{5}{x^7}dx\\[0.2cm]&=\left[\frac5{-6x^6}\right]^{+\infty}_1=0-\frac{5}{-6}=\frac56\end{align}