Como ya mencionó @alephzero, la forma más general de describir el movimiento con coordenadas polares es escribir $r$ y $\theta$ en función del tiempo, es decir $r(t)$ y $\theta(t)$ . Al derivar la ecuación de la trayectoria, partimos de las fórmulas de aceleración en coordenadas polares y del hecho de que el cuerpo está en un campo de fuerzas central (cuadrado inverso en el caso del movimiento orbital debido a la gravedad), tal que:
$$ a_{\theta} = r\frac{d^2\theta}{dt^2} + 2\frac{dr}{dt}\frac{d\theta}{dt} = 0$$
$$ a_r = \frac{d^2r}{dt^2}+r(\frac{d\theta}{dt})^2 = F(r) $$
Nuestro objetivo inicial es encontrar dos funciones $r(t)$ y $\theta(t)$ que satisfagan las ecuaciones anteriores. Sin embargo, esto es difícil de llevar a cabo analíticamente. En su lugar, suponemos que $r$ depende de la variable $\theta$ . También sabemos que el momento angular reducido $L'$ es constante, porque tenemos un campo de fuerza central.
Si $r$ depende de $\theta$ y el momento angular reducido es cero, es decir $r^2\frac{d\theta}{dt} = 0$ Esto implica que, o bien $r(t) = 0 $ o $\frac{d\theta}{dt}=0$ . En ambos casos, las ecuaciones anteriores para $a_r$ y $a_{\theta}$ desaparecen, por lo que ni siquiera tenemos una ecuación para empezar, ni siquiera podemos hablar de movimiento en realidad.
Si $r$ depende de $\theta$ y $L'\not=0$ podemos, tras algunas manipulaciones de las ecuaciones anteriores, eliminar la variable $t$ , de tal manera que tratamos de encontrar $r$ en función del ángulo $\theta$ sin querer saber dónde está la partícula y en qué momento $t$ .
El resultado final es la ecuación de la trayectoria, que describe el camino que sigue el objeto. La ecuación de la trayectoria supone que $r$ depende de $\theta$ y el momento angular reducido $L'\not=0$ . La trayectoria radial es el caso en el que el momento angular es cero, y por tanto no hay solución de la ecuación de la trayectoria.
