Las series de funciones convergen uniformemente pero las secuencias de funciones no

Question

Dado $a>1$ y

$$f_{n}(x)=\frac{1}{1+n^{a}x^{4}}$$

Se me pide que demuestre que para cualquier $\delta >0$ la serie de funciones $\sum f_{n}(x) $ converge uniformemente para $\{x \in \mathbb{R} | |x| \geq \delta \}$ pero la secuencia $\{f_{n}\}$ no converge uniformemente para todos los números reales.

Un poco de ayuda...

Answer 1

Pistas:

• converge normalmente en cualquier $I_\delta \stackrel{\rm def}{=}(-\infty, \delta)\cup(\delta, \infty)$ (para cualquier $\delta > 0$ . De hecho, para todos los $n\geq 0$ la función $f_n$ es par, no negativo y decreciente en $(\delta,\infty)$ para que $$ \sup_{x\in I_\delta} \lvert f_n(x)\rvert = \sup_{x\in I_\delta} f_n(x) = \frac{1}{1+n^a\delta^4}. $$ Ahora, muestra la serie $\sum_n \frac{1}{1+n^a\delta^4}$ es convergente.

• No converge uniformemente en $\mathbb{R}$ ya que ni siquiera converge puntualmente. Tomemos $x=0$ .

• La secuencia $(f_n)_n$ no converge uniformemente (a la función indicadora de $0$ , $\mathbf{1}_{\{0\}}$ el límite puntual y, por tanto, el único posible) como el límite uniforme de una secuencia de funciones continuas (el $f_n$ son todos continuos) serían continuos. Pero $\mathbf{1}_{\{0\}}$ no lo es.

Answer 2

Para $a>1$ y $x\ge \delta>0$ tenemos

$$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{1+n^ax^4}\le \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^a\delta^4}=\frac{1}{\delta^4}\zeta(a)$$

que existe para $a>1$ que se puede demostrar utilizando, por ejemplo, la prueba integral.

Sin embargo, podemos elegir un número $\epsilon=\frac12$ y un número $x=1/n^{a/4}$ tal que para cualquier $n$

$$\frac{1}{1+n^ax^4}>\frac12$$