Variables aleatorias independientes distribuidas por la ley de Poisson

Question

El problema:

Dejemos que $\xi$ y $\eta$ sean variables aleatorias independientes distribuidas por la ley de Poisson con parámetros $\lambda_1$ y $\lambda_2$ de forma correspondiente. Demuestre que la variable aleatoria $\xi + \eta$ también se distribuye por Poisson (con parámetros $\lambda{1} + \lambda{2}$ )

Mi intento:

Por la ley de Poisson $P(\xi + \eta ; \lambda_1 + \lambda_2) = \frac{(\lambda_1 + \lambda_2)^{\xi + \eta} * e^{-(\lambda_1 + \lambda_2)}}{(\xi + \eta)!}$ . Y como sabemos que son independientes podemos decir que $P(\xi + \eta ; \lambda_1 + \lambda_2)$ también es igual a $P(\xi ; \lambda_1) + P(\eta ; \lambda_2) - P(\xi ; \lambda_1) * P(\eta ; \lambda_2)$ .

He intentado simplificar la ecuación larga que obtengo pero sigo sin conseguir que sean iguales entre sí. ¿Debería intentar simplificarlas por ambos lados?

Answer 1

Para mayor claridad, utilicemos letras mayúsculas latinas para las variables aleatorias, minúsculas para sus valores y letras griegas para los parámetros, de modo que la pregunta se convierta en

Dejemos que $X$ y $Y$ sean variables aleatorias independientes distribuidas por la ley de Poisson con parámetros $\lambda_1$ y $\lambda_2$ de la misma manera. Demuestre que la variable aleatoria $Z=X+Y$ también se distribuye por Poisson (con parámetros $\lambda_{1} + \lambda_{2}$ )

Su " $P(\xi ; \lambda_1) + P(\eta ; \lambda_2) - P(\xi ; \lambda_1) * P(\eta ; \lambda_2)$ " se relaciona con eventos independientes y no con variables aleatorias.

Un mejor enfoque en este caso sería ver algo como $$\mathbb{P}(Z=z)=\sum_x \mathbb{P}(X=x)\, \mathbb{P}(Y=z-x)$$ que desde $x$ y $z-x$ deben ser enteros no negativos da $$\mathbb{P}(Z=z)=\sum_{x=0}^{z} \lambda_1^x \frac{e^{-\lambda_1}}{x!}\, \lambda_2^{z-x} \frac{e^{-\lambda_2}}{(z-x)!}$$

Se desea que esto sea igual a $(\lambda_1+\lambda_2)^z \, \dfrac{e^{-(\lambda_1+\lambda_2)}}{z!}$ . Te lo dejo a ti (pista: piensa expansión del binomio ).