Demostración de una equivalencia con respecto a los operadores autoadjuntos

Question

Estoy intentando resolver este problema pero me falla la parte inversa...

Demuestre que el producto de dos operadores autoadjuntos es autoadjunto si y sólo si los dos operadores conmutan.

( $\Rightarrow$ ) Si suponemos que $T,U,V$ son operadores autoadjuntos tales que $T=UV$ y $U^*=U,V^*=V,T^*=T$ tenemos por Teorema que:

$$(UV)^*=V^*U^*=VU$$

pero sabemos, por hipótesis, que: $$(UV)^*=T^*=T=UV$$ Ya sabemos que el operador adjunto es único, por lo que tenemos que $UV=VU$ y hemos terminado con esta parte.

Así que mis problemas son esta la inversa, puede alguien ayudar por favor.

Answer 1

Supongamos que $UV = VU$ y $U,V$ son autoadjuntos. $$(UV)^*=V^* U^* = V U = UV \implies (UV)^* = UV$$ es decir $UV$ es autoadherente. Espero que eso ayude.

Answer 2

El enunciado del teorema podría mejorarse drásticamente. Debería decir:

Dejemos que $U$ y $V$ sean operadores autoadjuntos.

Teorema. El producto $UV$ es autoadjunto si y sólo si $UV = VU$ .

Prueba. ( $\impliedby$ ) Supongamos que $U$ y $V$ conmutar. Nuestro objetivo es demostrar que $(UV)^* = UV$ . La característica que define al adjunto es la siguiente ecuación: $$ \langle UV x,y\rangle = \langle x,(UV)^*y\rangle,\qquad\text{for all $ x,y $.} $$ Por nuestra suposición de que $U$ y $V$ conmutar, tenemos \begin{align*} \langle UV x,y\rangle &= \langle VU x,y\rangle \\ &= \langle U x, V^*y\rangle \\ &= \langle x,U^*V^*y\rangle, \end{align*} donde hemos aplicado la característica definitoria del adjunto dos veces. Utilizando el hecho de que $U$ y $V$ son autoadjuntos, por lo que $U^* = U$ y $V^* = V$ deducimos $$ \langle UVx,y\rangle = \langle x,UVy\rangle,\qquad \text{for all $ x,y $.} $$ Por la unicidad del adjunto, $UV = (UV)^*$ . $\qquad\square$

Answer 3

Supongamos que $UV=VU$ . Entonces, para cualquier $x,y$ en el espacio dado $$ 0=\langle UVx,y\rangle - \langle VUx,y\rangle=\langle x,V^*U^*y\rangle - \langle x,U^*V^*y\rangle = \langle x, (V^*U^* - U^*V^*)y\rangle .$$ Por el lema del operador cero (es decir, $T=0$ si $\langle Tx, y\rangle =0$ para todos $x,y$ ), $V^*U^* - U^*V^*=0$ . Desde $U^*=U$ y $V=V^*$ tenemos $0=V U - U^*V^*= VU - (VU)^*.$