Si $\phi \circ \psi_1 = \phi \circ \psi_2$ implica $\psi_1=\psi_2$ para todos $\psi_1,\psi_2: T \rightarrow R$ entonces $\phi$ es un monomorfismo de anillo

Question

Dejemos que $\phi: R \rightarrow S$ sea un homomorfismo de anillo. Si $\phi \circ \psi_1 = \phi \circ \psi_2$ implica $\psi_1=\psi_2$ para todo homomorfismo de anillo $\psi_1,\psi_2: T \rightarrow R$ . Demostrar que $\phi$ es inyectiva.

Así que trato de construir un caso en el que $\phi$ no es un monomorfismo y se supone que $\phi \circ \psi_1 = \phi \circ \psi_2$ para todos $\psi_1,\psi_2$ pero $\psi_1,\psi_2$ no son lo mismo. ¿Alguna pista sobre cómo encontrar este caso?

Answer 1

¿Qué pasa si eliges $T = \mathbb{Z}[x]$ y elegir dos elementos de $R$ que se asignan a la misma imagen a través de $\phi$ ?