¿Por qué, en promedio, cada muestra de bootstrap contiene aproximadamente dos tercios de las observaciones?

Question

Me he encontrado con la afirmación de que cada muestra de arranque (o árbol en bolsas) contendrá en promedio aproximadamente$2/3$ de las observaciones.

Entiendo que la probabilidad de no ser seleccionado en ninguna de las$n$ extracciones de$n$ muestras con reemplazo es$(1- 1/n)^n$, lo que equivale aproximadamente a$1/3$ de probabilidad de no ser seleccionado.

¿Cuál es una explicación matemática de por qué esta fórmula siempre da$\approx 1/3$?

Answer 1

Simplemente agregando a la respuesta de @ retsreg, esto también se puede demostrar con bastante facilidad mediante simulación numérica en R:

 N <- 1e7 # number of instances and sample size
bootstrap <- sample(c(1:N), N, replace = TRUE)
round((length(unique(bootstrap))) / N, 3)
## [1] 0.632

Answer 2

Esto se puede ver fácilmente contando. ¿Cuántas muestras posibles en total? n ^ n. ¿Cuántos NO contienen un valor específico? (n-1) ^ n. Probabilidad de que una muestra no tenga un valor específico - (1-1 / n) ^ n, que es aproximadamente 1/3 en el límite.