$\nabla \cdot \color{green}{(\mathbf{F} {\times} \mathbf{G})} $ con notación de sumación de Einstein [Stewart P1068 16.5.27]

Question

$\nabla \cdot \color{green}{(\mathbf{F} {\times} \mathbf{G})} = \partial_h\color{green}{\epsilon_{hij}F_iG_j}$
$ = \epsilon_{hij}\partial_h[F_iG_j]$
$ = \color{purple}{\epsilon_{hij}G_j\partial_hF_i} \color{red}{+} \epsilon_{hij}F_i\partial_hG_j $

$\color{purple}{1. \text{How do I determine whether } \epsilon_{hij}G_j\partial_hF_i = \mathbf{G} \times \nabla \mathbf{F} \text{ or } \mathbf{G} \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) ?}$

$\color{darkred}{\text{3. The answer shows a negative sign $-$, not +. What did I miss?}}$ Yo hice referencia a esto.

Mi Propia Realización de Una respuesta a mi pregunta 1 es que la divergencia de un campo vectorial, es decir,$\nabla \mathbf{F}$, siempre es un escalar, por lo que no tiene sentido tomar su cruz de producto. Esta es la razón por la $ \color{purple}{ \mathbf{G} \times \nabla \mathbf{F} } $ es malo.

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El primer Intento se Retractó debido a celtschk la Respuesta:

Traté de calcular $\operatorname{div}(\mathbf{F} \times \mathbf{G})$ considerando el $j$th componente término en la suma de la divergencia del operador:

$\color{red}{[}\nabla \cdot \color{green}{(\mathbf{F} {\times} \mathbf{G})}\color{red}{]}_\color{red}{\LARGE{j}} = \partial_\color{red}{\LARGE{j}}{\epsilon_{hi\color{red}{\LARGE{j}}}}F_{\huge{\color{green}{i}}}G_{\huge{\color{green}{i}}} = \color{green}{\epsilon_{hi\color{red}{\LARGE{j}}}}\partial_\color{red}{\LARGE{j}}[F_{\huge{\color{green}{i}}}G_{\huge{\color{green}{i}}}] = \color{purple}{\epsilon_{hi\color{red}{\LARGE{j}}}G_i\partial_\color{red}{\LARGE{j}}F_i} \color{brown}{+} \color{gray}{\epsilon_{hi\color{red}{\LARGE{j}}}F_i\partial_\color{red}{\LARGE{j}}G_i} $

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Suplemento debido a Muphrid y celtschk:

$1.1.$ Sin geométricos de cálculo o una cuña de productos o cualquier temas más avanzados, ¿cómo podría usted divino para mover $G_h$ a la frente, como Muphrid hizo?

$3.1.$ $\color{purple}{F_i\partial_hG_j}$ , El orden de los subíndices es $\color{purple}{(i, h, j)}$ Pero en $\epsilon_{hij}$, la orden es $(h, i, j)$. Por lo tanto, debo rotar $(h, i, j)$ obtener $\color{purple}{(i, h, j)},$ mediante el intercambio de $\color{purple}{h}$ $\color{purple}{i}$ una vez $\Longrightarrow \epsilon_{hij} = -\epsilon_{\color{purple}{ihj}} $. Esto produce la necesaria respuesta.

Debe [el orden de los subíndices de los componentes] = [el orden de los subíndices en la de Levi-Civita símbolo]? ¿Por qué funciona esto?

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Suplemento debido a Muphrid Comentario en 17 de julio:

$3.2.$ ¿Cómo podría usted divino/previse para tirar de $G_j$ a la frente, y NO la espalda?
Lo hizo: $\color{purple}{\epsilon_{hij}G_j\partial_hF_i} = \color{purple}{(\epsilon_{hij}\partial_hF_i)G_j} = \color{purple}{G_j\epsilon_{\color{magenta}{jhi}}\partial_hF_i = \mathbf{G} \cdot (\nabla \times \mathbf{F})}. $

Yo habría hecho: $\color{purple}{\epsilon_{hij}G_j\partial_hF_i} = \color{purple}{(\epsilon_{hij}\partial_hF_i)G_j = (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{G}. \text{ But this is wrong! }}$

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Suplemento debido a celtschk & Muphrid Comentarios del 22 de julio

De celtschk: no es estrictamente necesario que el orden de los índices de mapas de la orden en el vector de expresión. Sin embargo, ayuda a hacer eso, porque es menos propenso al error...

De Muphrid: Sí, el orden de los índices en la de Levi-Civita asuntos...

$3.3. $ Los dos comentarios parecen diferir, por lo que debe [el orden de los subíndices de los componentes] = [el orden de los subíndices en la de Levi-Civita símbolo] ?

$3.4.$ También, debe la orden por la que tanto partido? Por qué o por qué no?

Answer 1

1. Usted está contratando los índices de $\mathbf F$ $\mathbf G$ el uno con el otro; En $\mathbf G\cdot(\nabla\times\mathbf F)$ le gustaría contrato con el resto de índice de $\epsilon$ (los índices de $\mathbf F$ $\nabla$ ya están contratados). Sin embargo $\mathbf G\times\nabla \mathbf F$ no tiene sentido para mí. $\partial_jF_i$ son los componentes de un rango de 2 tensor; tendría sentido escribir que el tensor como $\nabla\mathbf F$. Sin embargo lo que no tiene sentido para mí es tomar la cruz de producto. Mirando más de cerca a la expresión, me doy cuenta de que no tiene sentido en el índice de notación, ya sea porque hay tres apariciones del índice de $i$ en el producto; sólo uno (gratis índice) o dos (sumadas índice) son posibles.

2. Yo no veo una diferencia a su primera pregunta. Sólo las funciones de $\mathbf F$ $\mathbf G$ son intercambiados.

3. Su primer paso ya está mal. Usted puede ver fácilmente que por el hecho de que en el lado izquierdo, $j$ es un servicio gratuito de índice, mientras que en el lado derecho, que se suman a lo largo (aparece dos veces en un producto). Un segundo error es el índice de $h$, que no aparecen en el lado izquierdo. Un tercer error es el de tres apariciones del índice de $i$.

   En realidad, ahora se dan cuenta que su "cero" paso también es falso: La expresión que está tomando el $j$-ésima componente es un escalar, y por lo tanto no tienen un $j$-ésimo componente. (Y sí, el índice de $j$ no significa que la j-ésima componente; de todos modos, teniendo en cuenta el $j$-ésimo término en forma aislada no tendría demasiado sentido de todos modos).

De edición para la 3.1 y 3.2:

A menos que haya un derivado, en la cual se determinará el orden. Esto se explica en el párrafo anterior "editar para la 3.3 y 3.4". Pero de lo contrario, No, no es necesario que $\text{[the order of the indices in the Levi-Civita symbol]}$
$= \text{[the order of the components in the component expression].}$
Después de todo, sólo son escalares factores (a menos que haya un derivado).

Tampoco es estrictamente necesario que [el orden de los índices en la de Levi-Civita Símbolo] asigna el orden en el vector de expresión. Sin embargo, ayuda a hacer eso, porque es menos propenso a errores. Lo que definitivamente importa es si por ejemplo una permutación es par o impar; esto se corresponde con el producto cruzado de ser antisimétrica.

Poner los índices en el "derecho" de la orden antes de la conversión definitivamente ayuda con la realización de que no hay errores.

El segundo término en su 3ª ecuación es $\epsilon_{hij}F_i\partial_hG_j$. Puesto que usted tiene un derivado de aquí, usted tiene la restricción adicional de que la derivada tiene que venir delante de lo que se deriva, que en una expresión de la forma $\mathbf a\cdot(\mathbf b\times\mathbf c)$ sólo puede suceder si $\mathbf b$ es la derivada, y $\mathbf c$ es lo que se deriva.
Por lo tanto, desea que el índice de $\partial$ el segundo, y el índice de $G$ tercero, por lo que los dos aparecen en el vector producto exactamente de esa manera. Es decir, usted desea $\epsilon_{ihj}$, con lo cual se consigue mediante el intercambio de $h$$i$, y por lo tanto, obtener el cambio de signo.

Edición de 3.3 y 3.4:

El orden de los índices en la épsilon del tensor de la materia, porque la reordenación puede cambiar el signo. Sin embargo, para las permutaciones sin un cambio de signo (es decir, incluso), esta orden de los índices puede cambiar sin afectar a la respuesta final. Además, dado que el producto cruz NO es conmutativo, pero el producto escalar es, por lo tanto en el vector de expresión, sólo el orden de los vectores en la cruz de productos que importa, no el orden en el producto escalar.

El orden de los componentes en forma de componente no importa (excepto para el derivado de los operadores, por supuesto). Esto significa que usted puede cambiar el $A_i$, $B_j$ y $C_k$ cualquier manera que te gusta (asegurarse de que usted mantenga el índice correcto en cada uno, por supuesto) sin cambiar el valor de: $$\epsilon_{ijk}A_iB_jC_k = \epsilon_{ijk}B_jA_iC_k = \epsilon_{ijk}B_jC_kA_i = \dots$$

Ahora si la orden se ajusta en todas partes, entonces hay dos posibilidades para interpretar $\epsilon_{ijk}A_iB_jC_k$:

$$\begin{align} \epsilon_{ijk}A_iB_jC_k & = \color{#C33602}{\epsilon_{ijk}A_i(B_jC_k)} \qquad \text{ or } \color{#766303}{\qquad \epsilon_{ijk}(A_iB_j)C_k} \\ & = \color{#C33602}{\mathbf A\cdot(\mathbf B\times\mathbf C)} \qquad \text{ or } \color{#766303}{\qquad (\mathbf A\times\mathbf B) \cdot \mathbf C = \mathbf C \cdot (\mathbf A\times\mathbf B) } \end{align}$$ Estas dos expresiones son en realidad iguales, debido a que el vector de identidad: $$\color{#C33602}{\mathbf A\cdot(\mathbf B\times\mathbf C)}=\mathbf B\cdot(\mathbf C\times\mathbf A) = \color{#766303}{\mathbf C\cdot(\mathbf A\times\mathbf B)}$$

Así que en ambos lados se puede hacer permutaciones impares que requieren un cambio de signo, mientras que incluso las permutaciones que NO. En la LHS, en términos de los componentes, un cambio de signo se compara con la de un extraño permutación de los índices. En el lado derecho en términos del vector de expresión, un cambio de signo equivale a un cambio de los dos factores de la cruz del producto (precedido y/o seguido por uno de los equivalentes de los cambios mencionados anteriormente, por supuesto).

Sin embargo, si
♦ el orden de los índices de los partidos en la de Levi-Civita y el símbolo correspondiente vector de componentes
♦ y el orden de los nombres de vectores de partidos en el componente de expresión y el vector de expresión,

entonces usted está en el lado seguro, sin poner pensado mucho en ella.

Answer 2

Por definición

$\nabla \cdot (F\times G)=\epsilon_{jik}\partial_j(F_iG_k) = \epsilon_{jik}\partial_jF_i G_k + \epsilon_ {jik} G_k F_i\partial_j = (\nabla \times F) \cdot G-F\cdot (\nabla \times G), $

como $(\nabla \times F)_k=\epsilon_{kji}\partial_j F_i=\epsilon_{jik}\partial_j F_i,$ $(\nabla \times G)_i=\epsilon_{ijk}\partial_j G_k=-\epsilon_{jik}\partial_j G_k.$

He usado

$$\epsilon_{jik}=\epsilon_{kji}, $$ $$\epsilon_{ijk}=-\epsilon_{jik}. $$

Answer 3

1) Es $\mathbf G \cdot (\nabla \times \mathbf F)$. Este es un caso donde cálculo vectorial lamentablemente hace la vida más difícil para usted. Una forma de explicarlo sería como sigue.

Ha $\epsilon_{hij} (\partial_h F_i) G_j$. Se puede permutar los índices de Levi-Civita para hacer la expresión en algo más fácilmente reconocibles:

$$\epsilon_{hij} (\partial_h F_i) G_j = [\epsilon_{jhi} \partial_h F_i] G_j$$

El término entre corchetes es un rizo, y lo que puede ser representado como algunos vectores $A_j = \epsilon_{jhi} \partial_h F_i$.

$$G_j [\epsilon_{jhi} \partial_h F_i] = G_j A_j = \mathbf G \cdot \mathbf A = \mathbf G \cdot (\nabla \times \mathbf F)$$

3) La respuesta probablemente se muestra un signo menos porque cambiar el orden de los índices de la de Levi-Civita símbolo. No escribir esto, pero a mí me parece claro que la intención de este debido a la forma de escribir la orden de los componentes.

$$\epsilon_{hij} F_i \partial_h G_j = -\epsilon_{hji} F_i \partial_h G_j = - - \mathbf F \cdot (\nabla \times \mathbf G)$$

El signo menos de la siguiente manera porque $hji$ es una permutación impar de $hij$.

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Lo que sigue a continuación es puramente matemático de interés.

Me dijo que "cálculo vectorial hace la vida difícil" porque no es inmediatamente obvio cómo convertir el índice de la notación de la identidad está dada en un sentido, coordinar libre resultado de nuevo. Todos los índices deben estar en las mismas condiciones, pero por alguna razón, no lo son. Es el $G_h$ tienes que sacar, y no es inmediatamente obvio que este debe ser el caso.

Una manera de evitar este problema es no utilizar el índice de notación. Esto se hace a menudo el uso de formas diferenciales, pero voy a usar algo llamado geométricos de cálculo en su lugar.

La identidad está tratando de demostrar que tiene la siguiente forma geométrica de cálculo:

$$\nabla \wedge (\mathbf F \wedge \mathbf G) = (\nabla \wedge \mathbf F) \wedge \mathbf G - \mathbf F \wedge (\nabla \wedge \mathbf G)$$

Estos "cuña de productos de" uso aquí son asociativos y antisimétrica. Ellos no resultar en vectores, pero son mucho mejor educados que los productos cruzados porque ellos son asociativos. En efecto, la prueba se vuelve ridículamente fácil. En primer lugar, aplicar la regla del producto:

$$\nabla \wedge (\mathbf F \wedge \mathbf G) = (\nabla \wedge \mathbf F) \wedge \mathbf G + \dot \nabla \wedge \mathbf F \wedge \dot{\mathbf G}$$

El overdot me dice que, en el segundo término, $\mathbf G$ es ser diferenciadas, aunque $\nabla$ no está junto a él. La asociatividad de la cuña me permite intercambiar $\nabla$ $\mathbf F$ en el costo de un signo menos.

$$(\nabla \wedge \mathbf F) \wedge \mathbf G + \dot \nabla \wedge \mathbf F \wedge \dot{\mathbf G} = (\nabla \wedge \mathbf F) \wedge \mathbf G - \mathbf F \wedge \nabla \wedge \mathbf G$$

No hay ningún índice de gimnasia necesario. Cuña de productos de hacer un montón de la arbitrariedad de las identidades en 3d, cálculo vectorial más sentido.