¿Por qué es tan importante el teorema de Hahn-Banach?

Question

Cada vez que lo escucho mencionar, se elogia en los términos más altos posibles y recuerdo a uno de mis antiguos profesores diciendo que es uno de los 3 teoremas más importantes en análisis. Sin embargo, las únicas consecuencias de ello que he leído es que demuestra que hay muchos funcionales y que existen hiperplanos separadores. ¿Son esas 2 consecuencias realmente tan espectaculares, o hay otras que no conozco?

Answer 1

He usado esto (a veces con coautores) varias veces en el siguiente contexto general. He querido demostrar que una función f puede descomponerse como una suma g+h, donde g tiene ciertas propiedades y h tiene ciertas propiedades. Ha sido posible mostrar que el conjunto de g aceptable es convexo, al igual que el conjunto de h aceptable. Así que estoy tratando de mostrar que f pertenece a una suma de dos conjuntos convexos K+L. Pero una suma de conjuntos convexos es convexa, por lo que si f no puede escribirse de esa manera, entonces puede ser separado de K+L por una funcional. A menudo es posible derivar una contradicción a partir de esto.

El resultado es que se puede demostrar la existencia de la descomposición deseada en circunstancias donde definir explícitamente una descomposición sería difícil.

Por cierto, las aplicaciones a las que hago alusión son del teorema de Hahn-Banach en dimensiones finitas. Algunas personas lo llaman teorema minimax, y otros lo llamarían dualidad para la programación lineal o algo así.

Answer 2

Mi opinión.

Los funcionales lineales en un espacio de Banach B se utilizan para definir el espacio dual B', y la topología débil tanto en el espacio como en su dual. Pero por supuesto, necesitas la cantidad suficiente de funcionales para obtener un objeto y una topología interesantes. El teorema de Hahn-Banach implica que la topología débil es Hausdorff, y definitivamente parece ser un requisito previo para obtener algo útil. Ahora bien, la topología débil en B a menudo es más adecuada que la topología de norma en B en aplicaciones prácticas porque tiene conjuntos "más" compactos. Piensa en un espacio de Hilbert, o un espacio de Banach reflexivo. Su bola unitaria es compacta con respecto a la topología débil. Esto da lugar a muchos teoremas de existencia en varios campos de las matemáticas. Piensa también en el espacio de distribución $D'(R)$. Aquí nuevamente, la topología débil parece ser más útil que su topología intrínseca.

Déjame dar otra razón. Los funcionales lineales pueden ser vistos como un equivalente de dimensión infinita de las coordenadas en $R^n$. Creo que estarás de acuerdo en que la introducción de sistemas de coordenadas para representar puntos en el espacio fue un gran avance en las matemáticas, desde el punto de vista histórico. Aquí hay un problema que ilustra la necesidad de coordenadas en análisis funcional. Sea B un espacio de Banach. Quieres dar un significado a la integral de una función valuada en B. Ciertamente, deseas linealidad, es decir, $\lambda(\int f d\mu)= \int(\lambda(f)d\mu)$, para todo funcional lineal $\lambda$ en B. Esa es la integración "coordenada por coordenada". No siempre es posible definir tal integral, pero el teorema de Hahn-Banach te dice que solo hay un valor posible para $\int f d\mu$ si se cumple la linealidad.

Answer 3

Aquí hay algunas consecuencias adicionales:

• La norma de $T^{*}$ es igual a la norma de $T$
• $X$ reflexivo y $M$ cerrado en $X$ implica que $M$ es reflexivo
• Si $X$ es de Banach, entonces $X^{*}$ es reflexivo si y solo si $X$ es reflexivo
• $X^{*}$ separable implica que $X$ es separable
• Si $X$ es de Banach y $T \in B(X)$, entonces $T$ es invertible si y solo si $T^{*}$ es invertible

Answer 4

Hahn-Banach es fundamental como un medio para obtener fácilmente la existencia de objetos en el análisis funcional. Básicamente, expresa que cualquier problema de cierto tipo que no tenga "obstrucciones obvias" tiene una solución. Incluso en dimensiones finitas, está en el corazón de la potente dualidad en la optimización convexa (o las propiedades de la transformación de Legendre-Fenchel).

Hahn-Banach también es equivalente a la semicontinuidad inferior en la topología débil de funciones semicontinuas convexas, lo que permite obtener soluciones de muchos problemas variacionales a través de la minimización, por ejemplo cuando los subniveles del funcional convexo son débilmente compactos. Por otro lado, tendrás que trabajar más duro (usar otros insumos, por ejemplo teoremas de regularidad) para afirmar algo más allá de la mera existencia de tu solución.

Answer 5

Curiosamente, desde este ángulo, Jean Dieudonné en su enorme tratado sobre análisis se libra sin ello (si mal no recuerdo). ¿Convierte parte de ello en un ejercicio? La razón siendo, aparentemente, que aborda el análisis desde la actitud de "espacio métrico separable", que justifica en algún lugar. Es una cosa interesante, por lo tanto: es una de las cuatro ideas canónicas en análisis funcional (como dijo F. Riesz?), pero si no aceptas esa mentalidad, pueden haber otras maneras. Aún vas a necesitar algún principio de existencia para funcionales lineales.