Criterio de Cauchy para la convergencia uniforme de las series

Question

6.4.2 (a) Si $\sum_{n=1}^\infty g_n$ converge uniformemente, entonces $(g_n)$ converge uniformemente a cero.

Prueba: Dejemos que $\varepsilon > 0$ arbitrario. Por el criterio de Cauchy para la convergencia uniforme de las series, existe alguna $N \in \mathbb{N}$ tal que $|g_{m+1}(x) + \dotsb + g_n(x)| < \varepsilon$ siempre que $n > m \geq N$ . Dado que esto es válido para todos los $m \geq N$ podemos establecer $n = m+1$ y obtener $|f_n(x) |< \varepsilon$ siempre que $n > N$ . Esto demuestra $g_n$ converge uniformemente a $0$ .

( Imagen original aquí .)

No entiendo las dos últimas frases,

1) ¿Por qué se obtiene $|f_n(x)|$ al establecer $n = m+1$ ?

2) ¿Cómo es que $|f_n(x)| < \varepsilon$ implica $g_n$ converge uniformemente a 0?

Answer 1

1) Esto es un error tipográfico, debería ser $|g_n(x)| < \varepsilon$ para todos $n > N$ , lo que se deduce de la estimación anterior fijando $n = m+1$ .

2) Hemos visto que por cada $\varepsilon > 0$ existe algún $N \in \mathbb{N}$ con $|g_n(x) - 0| < \varepsilon$ para todos $n > N$ y todos $x$ . Esta es precisamente la definición de $g_n$ convergiendo uniformemente a $0$ .