Pregunta sobre la integridad del espacio del producto interior derivado

Question

Dejemos que $(\mathcal{H},\langle{,}\rangle)$ sea un espacio de Hilbert separable e infinito. Sea $\mathcal{X}''$ denotan el espacio de secuencias acotadas en $\mathcal{H}$ . Para un Límite de Banach $L$ definan una función bilineal $\mathcal{X}''\times\mathcal{X}''\rightarrow\mathbb{C}$ por

$$\langle{\left\{x_{n}\right\},\left\{y_{n}\right\}}\rangle:=L \langle{x_{n},y_{n}}\rangle$$

Dejemos que $\mathcal{X}'$ sea el espacio del producto interno obtenido al modding por la relación de equivalencia $\left\{x_{n}\right\}\sim\left\{y_{n}\right\}\Leftrightarrow L\left\|x_{n}-y_{n}\right\|^{2}=0$ . Utilizando la separabilidad de $\mathcal{H}$ no es difícil demostrar que $\mathcal{X}'$ tiene la cardinalidad del continuo $\mathfrak{c}$ y $\mathcal{X}'$ contiene un sistema ortonormal $\left\{\psi_{\alpha}\right\}$ de cardinalidad $\mathfrak{c}$ Así que $\mathcal{X}'$ es inseparable.

En el artículo "Two-Sided Ideals and Congruences in the Ring of Bounded Operators in Hilbert Space", el autor da el siguiente argumento para la incompletitud de $\mathcal{X}'$ : Para un sistema ortonormal $\left\{\psi_{\alpha}\right\}$ con cardinalidad $\mathfrak{c}$ el espacio $\mathcal{X}$ de todas las series

$$\sum_{\alpha}a_{\alpha}\psi_{\alpha}\text{ with }\sum_{\alpha}\left|a_{\alpha}\right|^{2}<\infty$$ tiene cardinalidad $2^{\mathfrak{c}}$ y por lo tanto no es un subconjunto de $\mathcal{X}'$ que tiene cardinalidad $\mathfrak{c}$ .

No sigo este argumento. Una serie $\sum_{\alpha\in A}a_{\alpha}\psi_{\alpha}$ converge sólo si a lo sumo un número contable de coeficientes es distinto de cero. Entonces, ¿no habría una suryección $A^{\mathbb{N}}\times\ell^{2}(\mathbb{N})\twoheadrightarrow\mathcal{X}$ y por lo tanto

$$\text{card }\mathcal{X}\leq\max\left\{\text{card }A^{\mathbb{N}}, \text{card }\ell^{2}(\mathbb{N})\right\}=\max\left\{2^{\aleph_{0}\times\aleph_{0}},\mathfrak{c}\right\}=\mathfrak{c}$$

Dado que el autor atribuye la mencionada prueba a von Neumann, creo que debo haber cometido un error. ¿Podría alguien ayudarme?

Answer 1

Tienes razón. Para un conjunto infinito $S$ tenemos

$$\ell^2(S) = \bigcup_{\substack{T\subset S\\\operatorname{card} T = \aleph_0}} \ell^2(T),$$

ver $\ell^2(T)$ como un subconjunto de $\ell^2(S)$ mediante la incrustación canónica, ya que una familia sumable de números reales (o complejos) sólo puede contener un número contable de términos no nulos. Dado que $\operatorname{card} \ell^2(T) = \mathfrak{c}$ para todos los infinitos contables $T$ tenemos

$$\operatorname{card} \ell^2(S) \leqslant \mathfrak{c} \cdot \operatorname{card} \{ T\subset S : \operatorname{card} T = \aleph_0\}.$$

Pero todo subconjunto contablemente infinito $T$ de $S$ es la imagen de un mapa $t\colon \mathbb{N}\to S$ Así que

$$\operatorname{card} \{ T\subset S : \operatorname{card} T = \aleph_0\} \leqslant \operatorname{card} \bigl(S^\mathbb{N}\bigr) = (\operatorname{card} S)^{\aleph_0}.$$

Con $\operatorname{card} S \leqslant \mathfrak{c}$ Así pues, obtenemos

$$\operatorname{card} \ell^2(S) \leqslant \mathfrak{c}\cdot \mathfrak{c}^{\aleph_0} = \mathfrak{c}.$$