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Derivación de la elipse de polarización

En electromagnetismo, todos los posibles estados de polarización del campo eléctrico monocromático pueden describirse en términos de la forma y orientación de la elipse de polarización, que mapea el lugar de los puntos trazados por el campo eléctrico sobre un plano 2D.

Hay varias formas de derivar la ecuación de la elipse de polarización. La derivación descrita en la obra seminal de R.M.A. Azzam "Ellipsometry and Polarized Light" expresa primero el campo en términos de dos componentes (paralela y perpendicular a los vectores base establecidos):

$$E_\parallel = a_1\cos(\omega t)-a_2\cos(\gamma)\sin(\omega t)$$

$$E_\perp=-a_2sin(\gamma)sin(\omega t)$$

Aquí $\omega t$ es la fase que varía en el tiempo, $a_1$ y $a_2$ son multiplicadores constantes, y $\gamma$ es el ángulo entre los vectores unitarios previamente establecidos.

Azzam procede a deducir la ecuación de la elipse de polarización por "eliminación de $t$ ":

$$\frac{E_\parallel^2}{a_1^2}+\frac{E_\perp^2}{a_2^2\sin(\gamma)^2}-\frac{2E_\parallel E_\perp\cot(\gamma)}{a_1^2}=1$$

Sin embargo, no está claro cómo $t$ es eliminado. El uso de las identidades trigonométricas obvias no da la ecuación de la elipse. ¿Cómo podemos eliminar $t$ para derivar la ecuación de la elipse mostrada arriba?

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Kamakazi Puntos 6

Eliminar $t$ de las ecuaciones $(1)$ y $(2)$ para obtener la ecuación $(3)$ . \begin{align*} E_\parallel &= a_1\cos(\omega t)-a_2\cos(\gamma)\sin(\omega t)\tag{1}\\ E_\perp&=-a_2\sin(\gamma)\sin(\omega t)\tag{2}\\ \frac{E_\parallel^2}{a_1^2}&+\frac{E_\perp^2}{a_2^2\sin(\gamma)^2}-\frac{2E_\parallel E_\perp\cot(\gamma)}{a_1^2}=1\tag{3} \end{align*}

Escribamos cada término de la ecuación $(3)$ de la ecuación por separado. \begin{align*} E_\parallel^2&=a_1^2\cos^2(\omega t)+a_2^2\cos^2(\gamma)\sin^2(\omega t)-2a_1a_2\cos(\gamma)\sin(\omega t)\cos(\omega t)\tag{4}\\ E_\perp^2&=a_2^2sin^2(\gamma)\sin^2(\omega t)\tag{5}\\ E_\parallel E_\perp&=a_2^2\sin(\gamma)\cos(\gamma)\sin^2(\omega t)-a_1a_2\sin(\gamma)\sin(\omega t)\cos(\omega t)\tag{6} \end{align*} En última instancia, se debe tratar de obtener $\sin^2(\omega t)+\cos^2(\omega t)=1$ en algún lugar, que elimina la dependencia de $t$ . En situaciones como \begin{align*} E_\parallel &= a_1\cos(\omega t)+a_2\sin(\omega t)\\ E_\perp&=a_1\sin(\omega t)+a_2\cos(\omega t)\\ \end{align*} La cuadratura y la suma son suficientes. Así, en el curso natural de la acción, se nota el primer término de las ecuaciones $(1)$ y $(2)$ (o $(4)$ y $(5)$ ) y compensa los factores adicionales de la siguiente manera \begin{align*} \frac{E_\parallel^2}{a_1^2}+\frac{E_\perp^2}{a_2^2\sin(\gamma)^2}&=\cos^2(\omega t)+\sin^2(\omega t)+\frac{a_2^2}{a_1^2}\cos^2(\gamma)\sin^2(\omega t)-2\frac{a_2}{a_1}\cos(\gamma)\sin(\omega t)\cos(\omega t)\\ &=1+\frac{a_2^2}{a_1^2}\cos^2(\gamma)\sin^2(\omega t)-2\frac{a_2}{a_1}\cos(\gamma)\sin(\omega t)\cos(\omega t)\\ \end{align*} pero sólo con dos términos extra desagradables. Gracias al término único $E_\perp$ podemos llevarlo a la derecha fuera como \begin{align*} &\Rightarrow\frac{a_2^2}{a_1^2}\cos^2(\gamma)\sin^2(\omega t)-2\frac{a_2}{a_1}\cos(\gamma)\sin(\omega t)\cos(\omega t)\\ &=\frac{a_2\sin(\gamma)\sin(\omega t)}{a_1^2}\left[\frac{a_2\cos^2(\gamma)\sin(\omega t)}{\sin(\gamma)}-2\frac{a_1\cos(\gamma)\cos(\omega t)}{\sin(\gamma)}\right]\\ &=-\frac{a_2\sin(\gamma)\sin(\omega t)}{a_1^2}\cot(\gamma)\left[2a_1\cos(\omega t)-a_2\cos(\gamma)\sin(\omega t)\right]\\ &=\frac{E_\perp}{a_1^2}\cot(\gamma)\left[2a_1\cos(\omega t)-a_2\cos(\gamma)\sin(\omega t)\right]\\ &\neq\frac{2E_\parallel E_\perp\cot(\gamma)}{a_1^2} \end{align*}


Por lo tanto, o bien la ecuación que has escrito es incorrecta o bien yo me he equivocado al intentar descomponer los términos desagradables en $E_\parallel$ y $E_\perp$ .

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