Axioma de elección, que demuestra que una función es onto

Question

Tenía algunas preguntas sobre el Axioma de elección.

Supongamos que tengo una función f:A->B, donde A y B son conjuntos infinitos, y tengo que demostrar que f es onto.

Así que como estrategia general escojo un elemento arbitrario b en B, y encuentro un elemento a en A, tal que f(a) =b.

Mi pregunta es si elegir un elemento arbitrario en B es hacer uso del axioma de elección.

Además... me parece que el axioma de elección no sería suficiente, porque tal y como yo lo entiendo, el axioma de elección nos permite elegir un elemento de un conjunto, pero no necesariamente todos los elementos.

Pero para demostrar que B es onto, tendría que ser capaz de elegir todos y cada uno de los elementos de B ¿no?

Answer 1

El axioma de elección no es necesario. Usted está eligiendo un elemento $b$ de $B$ , presumiblemente un conjunto no vacío. Esto utiliza una instanciación existencial.

Entonces se demuestra que el conjunto de elementos asignados a ese elemento elegido también es no vacío, y se hace mostrando que hay algún $a$ asignada a $b$ .

No estás haciendo infinitamente muchos elecciones arbitrarias, por lo que no se utiliza el axioma de elección. Al menos no en "general".