Probabilidad en diferentes escalas de tiempo

Question

Acabo de terminar de leer " Engañado por el azar " por Nassim Taleb . Entre otras cosas, pone el siguiente ejemplo para demostrar uno de sus puntos:

Una rentabilidad del 15% con una volatilidad del 10% anual se traduce en una probabilidad del 93% de ganar dinero en un año determinado. Sin embargo, si se considera un trimestre, esta probabilidad disminuye al 77%. La probabilidad respectiva en un mes/día/hora/minuto/segundo determinado es del 67%, 54%, 51,3%, 50,17% y 50,02%, respectivamente.

Aunque probablemente sea algo trivial, esto me sorprendió. Dado que uno se siente igual de feliz/triste al obtener ganancias/pérdidas, una persona que utiliza un marco temporal más pequeño para evaluar su rendimiento se sentirá mucho más triste, que una que utiliza un marco temporal más amplio (este era el punto que argumentaba). Sin embargo, no muestra las matemáticas detrás de la mencionada disminución de la probabilidad condicionada a la reducción del plazo. ¿Podría alguien aclarar matemáticamente esta intuición? Gracias de antemano.

Answer 1

Esto es consecuencia de que las medias se escalan linealmente y las desviaciones estándar se escalan en forma de raíz cuadrada.

Esta es la definición de volatilidad de la Wikipedia:

volatilidad "anualizada" $\sigma_{\text{annually}}$ es la desviación estándar de los rendimientos logarítmicos anuales de un instrumento.

Así, una rentabilidad anual del 15% con una volatilidad del 10% es un con distribución logarítmica normal variable aleatoria con media logarítmica $0.15$ y la desviación logarítmica estándar $0.10$ :

$$ X_{\text{annual}}\sim LN(0.15,0.1). $$

Tenemos un rendimiento positivo si $X>1$ . Podemos calcular la probabilidad de esto en R:

> plnorm(1,0.15,0.1,lower.tail=FALSE)
[1] 0.9331928

Esto coincide con la afirmación de Taleb de una probabilidad del 93% de estar en el dinero durante un año.

¿Cuál es la rentabilidad correspondiente a un trimestre? Para una visión trimestral, la media logarítmica se divide por $4$ - pero el log-SD se divide por $\sqrt{4}$ (ver la página de Wikipedia de nuevo):

$$ X_{\text{quarterly}}\sim LN\big(\frac{0.15}{4},\frac{0.1}{\sqrt{4}}\big) $$

con la posibilidad de un rendimiento positivo trimestral de

> plnorm(1,0.15/4,0.1/sqrt(4),lower.tail=FALSE)
[1] 0.7733726

Y mensualmente, obtenemos

$$ X_{\text{monthly}}\sim LN\big(\frac{0.15}{12},\frac{0.1}{\sqrt{12}}\big) $$

> plnorm(1,0.15/12,0.1/sqrt(12),lower.tail=FALSE)
[1] 0.6674972

Y así sucesivamente.

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En cualquier caso, es típico ver este argumento invertido. En este caso, pasamos de una visión más estable a largo plazo a otra menos estable a corto plazo. Normalmente, uno se fija primero en la situación más inestable a corto plazo (que, por supuesto, observamos antes) y luego se tranquiliza cuando considera que, a más largo plazo, las posibilidades de obtener un rendimiento positivo son mucho mayores.