La idea general es que hay tres tipos de obstáculos para que un número entero no se represente en la forma $ m^2 + kn^2 $ : O bien hay una obstrucción modular debido a los residuos cuadráticos (por ejemplo, $ 5 $ no puede representarse como $ m^2 + 2n^2 $ porque esto implicaría $ -2 $ es un residuo cuadrático módulo $ 5 $ que es falsa), hay una obstrucción de grupo de clases, o hay una obstrucción de integralidad (las dos últimas están relacionadas). Cuando el anillo $ \mathbf Z[\sqrt{-k}] $ es un dominio ideal principal, lo cual es una situación excepcional que no se da a menos que $ k = 1 $ o $ k = 2 $ entonces no existen ni la obstrucción del grupo de clases ni la obstrucción de la integralidad, y los números representados por la forma cuadrática son precisamente los que no contradicen la reciprocidad cuadrática.
Por ejemplo, en el caso $ k = 2 $ Esto significa que un número puede representarse como $ m^2 + 2n^2 $ si y sólo si los exponentes de todos los primos que son $ 5 $ o $ 7 $ mod $ 8 $ (primos módulo de los cuales $ -2 $ no es un residuo cuadrático) en su factorización primaria son pares. Más explícitamente, si $ c = \prod_k p_k^{r_k} $ para primos distintos $ p_k $ entonces $ c $ puede representarse de la forma $ m^2 + 2n^2 $ si y sólo si siempre que $ p_k \equiv 5, 7 \pmod {8} $ tenemos $ r_k \equiv 0 \pmod{2} $ .
Para generalizarlo a todos $ k $ requiere una comprensión de los grupos de clases de los anillos de números imaginarios cuadráticos y sus órdenes, que no existe en general, pero en casos específicos es posible aplicar un algoritmo de Gauss (reducción de la forma cuadrática) para determinar si algún número entero específico puede ser representado por alguna forma cuadrática específica. Sin embargo, no resulta en este tipo de descripción elegante; esencialmente porque al mirar "enteros reales" en lugar de "enteros ideales" (como Kummer describió los ideales en los anillos numéricos), se está viendo el comportamiento aritmético a través de una lente algo distorsionada.
