El índice de cada subgrupo propio de un grupo simple que contiene un elemento de orden 22

Question

La pregunta completa es la siguiente:

Para $G$ un grupo simple que contiene un elemento de orden $22$ . Demuestre que todo subgrupo propio de $G$ tiene un índice de al menos $13$ .

Creo que debo utilizar los Teoremas de Sylow para demostrar que esto es cierto, pero no sé exactamente qué hacer. ¿Es más fácil demostrar la contradicción?

Answer 1

Pista: Demuestre que si $G$ es un grupo simple con un subgrupo de índice $n>1$ entonces $G$ inyecta en el grupo simétrico $S_n$ .