Un problema sobre el anillo de polinomios sobre un campo

Question

Para $K$ es un campo infinito y $f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ $\in K[x_1,x_2,\ldots,x_n]$ . Demostrar que si $f(a)=0 $ para cualquier $a \in K^n$ entonces $f=0$ .

¿Puede alguien ayudarme?

Answer 1

Se puede demostrar por inducción en $n$ . Si $n=1$ Esto es sencillo, ya que un polinomio no nulo en una sola variable sólo tiene un número finito de raíces.

Supongamos que $n>1$ . Supongamos que $f\neq 0$ . Si $f$ es constante, trivialmente no desaparece en todas partes. Así que supongamos $f$ es inconstante, y supongamos sin pérdida de generalidad que la variable $X_1$ se produce en $f$ . Escriba su $f$ como $f=a_mX_1^m+\cdots+a_1X_1+a_0$ para $a_i\in K[X_2,\dots,X_n]$ con $a_m\neq 0$ . Desde $a_m$ es un polinomio en menos variables, por inducción, hay un punto $(c_2,\dots,c_n)\in K^{n-1}$ tal que $a_m(c_2,\dots,c_n)\neq 0$ . Fijando este punto, tenemos $$ g(X_1)=f(X_1,c_2,\dots,c_n)\in K[X_1]. $$ Este es un polinomio no nulo en una sola variable, por lo que podemos encontrar $c_1\in K$ tal que $0\neq g(c_1)=f(c_1,c_2,\dots,c_n)$ Así que $f$ no se desvanece en $K^n$ .