Cómo calcular las amplitudes cuando los diagramas de Feynman tienen bucles

Question

Agradecería un paseo pedagógico que ilustrara cómo calcular la amplitud asociada a un único diagrama de Feynman que tenga un bucle.

Mi ejemplo se refiere a la $\mathcal{L}=\frac{1}{2}\partial_{\mu}\phi\partial^{\mu}\phi-\frac{1}{2}m^{2}\phi^{2}-\frac{\lambda}{4!}\phi^{4}$ teoría y diagrama:

Ahora, desde mi entendimiento de las reglas de Feynman para este diagrama, yo escribiría escribiría

$$ \begin{array}{cl} \left\langle out\left|S-1\right|in\right\rangle & =\int\frac{d^{4}k}{\left(2\pi\right)^{4}}\left(-i\lambda\right)^{2}\left(2\pi\right)^{8}\frac{i}{k^{2}-m^{2}+i\varepsilon}\frac{i}{\left(p_{1}+p_{2}-k\right)^{2}-m^{2}+i\varepsilon}\times\\ & \qquad\qquad\times\delta\left(p_{1}+p_{2}-k-p_{1}-p_{2}+k\right)\delta\left(k+p_{1}+p_{2}-k-p'_{1}-p'_{2}\right) \end{array} $$

y extraer la amplitud de

$$ \left\langle out\left|S-1\right|in\right\rangle =i\mathcal{A}_{out,in}\left(2\pi\right)^{4}\delta^{4}\left(\sum_{i}p'_{i}-\sum_{i}p_{i}\right). $$

Sin embargo, como tengo dos $\delta\left(0\right)$ dentro de la integral, no sé cómo proceder. ¿Pueden aconsejarme?

Answer 1

Es más fácil de lo que crees. Si hubieras llamado a los momentos de los propagadores ${{k}_{1}}\And {{k}_{2}}$ se necesitaría una de esas funciones delta (no ambas) para hacer cumplir la conservación del momento, pero como ya se ha hecho cumplir eligiendo ${{k}_{2}}={{p}_{1}}+{{p}_{2}}-{{k}_{1}}$ es libre de desprenderse de la ${{(2\pi )}^{8}}\delta (...)\delta (...)$ . Te queda una integral logarítmica-divergente, que es bastante desagradable, pero puedes obtener el coeficiente del logaritmo infinito por inspección: ${{\pi }^{2}}{{(2\pi )}^{-4}}\log ({{\Lambda }^{2}}/s)$ donde Mandelstam $s\equiv {{({{p}_{1}}+{{p}_{2}})}^{2}}$ . Esto no sería exacto si $\Lambda $ eran finitos, pero es bastante bueno si $s\gg {{m}^{2}}$ .