Una medida de Borel localmente finita en un lugar y $\sigma$ espacio métrico compacto es una medida de Radon

Question

Dejemos que $X$ sea un espacio métrico localmente compacto que es $\sigma$ -compacto, y que $\mu$ es una medida de Borel sin signo que es finita en todo conjunto compacto. Demuestre que $\mu$ es una medida de Radon.

Sé que toda medida de Borel sin signo sobre un espacio métrico compacto que es $\sigma$ -compacto es una medida de Radon. A partir de la suposición, sólo tenemos que verificar la regularidad externa y la regularidad interna. La regularidad interna es más fácil, ya que podemos escribir $X$ como una unión contable y conjuntos compactos $K_n$ y un conjunto cerrado en cada $K_n$ también es un conjunto cerrado en $X$ . Tengo dificultades para verificar la regularidad exterior, conjunto abierto en $K_n$ puede no estar abierto en $X$ .

Answer 1

SUGERENCIA:

La regularidad en el caso compacto ( ver este Correo electrónico: ) implica la regularidad en el $\sigma$ -caso compacto. De hecho:

Tome un agotamiento con compactos $K_n \subset \overset{\circ} K_{n+1}$ , $\cup_n K_n = X$ . Tomemos un conjunto de Borel $A$ en $X$ . Entonces $A \cap K_n$ es Borel en $K_{n+1}$ . Toma $L_n\subset A \cap K_n \subset U_n$ con $U_n$ abrir en $K_{n+1}$ , $L_n$ compacto y $\mu(U_n \backslash L_n) < \epsilon/2^n$ . Modificar $U_n$ a $U'_n = U_n \cap \overset{\circ} K_{n+1}$ , abierto en $X$ . Todavía tenemos $$L_n\subset A \cap K_n \subset U'_n$$ y $\mu(U'_n \backslash L_n) < \epsilon/2^n$ . Ahora toma $U = \cup_n U'_n$ abierto y $L = \cup_n L_n$ unión contable de compactos. Tenemos $L \subset A \subset U$ y $$\mu( U \backslash L ) \le \sum \mu(U'_n \backslash L_n) < \epsilon$$