Prueba $p \vdash q \Rightarrow p$

Question

En primer lugar, ¿cómo se lee? ¿Está bien abajo? Con llaves

$$p \vdash (q \Rightarrow p)$$

La prueba dada es:

1. ${p}$ , premisa
2. ${q}$ , suposición
   1. $p$ por (1) // ¿qué?
3. ${q} \Rightarrow p$ por implicación introducción con 2 y 2.1 QED...

No puedo entender la relación entre $p$ y $q$ en 2.1 ...

Answer 1

El punto de la reclamación es que no hay relación entre $p$ y $q$ en 2.1. Una vez que $p$ es una premisa, cualquier cosa implica $p$ porque una implicación sólo puede ser falsa si su consecuente es falso.

Answer 2

No tiene que haber ninguna conexión intuitiva. Si puedes derivar de alguna manera $p$ después de (no necesariamente porque ) usted asume $q$ Entonces se puede concluir que $q\Rightarrow p$ .

En este caso, $p\vdash\cdots$ significa que te estás permitiendo explícitamente probar $p$ de la nada . Entonces también puede probar $q\Rightarrow p$ .

Answer 3

Muchos/la mayoría de los sistemas de deducción natural para la lógica clásica (no relevante) permiten (i) la reiteración, y también (ii) la descarga irrestricta de suposiciones -- por lo que se nos permite escribir

1. $p\quad\quad\quad$ Premisa
2. $\quad|\quad q\quad$ Supuesto
3. $\quad|\quad p\quad$ A partir de (1), por reiteración
4. $q \to p\quad\ $ Prueba condicional, por demostración de (2) a (3)

En efecto, no existe ningún "vínculo" entre $p$ y $q$ en el paso (3). Pero eso no es necesario en el paso (4), en la mayoría de los sistemas. La regla CP es: dada una subprueba que parte de $A$ y concluyendo $B$ podemos descargar la suposición $A$ e inferir $A \to B$ (sobre el resto de supuestos/premisas). Nos no en los sistemas clásicos típicos, tienen que comprobar que la suposición $A$ se invoca en realidad para llegar a $B$ .

¿Significa eso que no debería gustarnos la reiteración y/o que deberíamos restringir la descarga? Bueno, en realidad eso no afectaría mucho a las cosas en presencia de otras normas estándar. Por lo tanto, considere la prueba

1. $p\quad\quad\quad\quad$ Premisa
2. $\quad|\quad q\quad\quad$ Supuesto
3. $\quad|\quad p \land q\quad$ A partir de (1), (2)
4. $\quad|\quad p\quad\quad$ De (3)
5. $q \to p\quad\quad\ $ Prueba condicional, por demostración de (2) a (4)

Y ahora $q$ se invoca para llegar a la línea (4).